a)Xét tam giác APQ và tam giác BPM có

PA =PB

Góc APQ =góc BPM(đối đỉnh)

Góc QAP= góc MBP(AQ//BM)

=>Tam giác APQ=tam giác BPM (g.c.g)

AQBM là hình bình hành(2 đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường)

Mà góc QAM =90°( AQ vuông góc AM) nên AQBM là hình chữ nhật

BQ vuông góc AC( GT)

b) ta có :

PQ =AB/2 ( vì PQ là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền trong tam giác vuông ABQ)

PI= AB/2( vì PQ là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền trong tam giác vuông AIB)

=>PI € tam giác PIQ cân tại P

Sử dụng giả thiết M là trung điểm của AC và BM = 1/2AC Vì M là trung điểm của AC, ta có AM = MC = 1/2AC. Theo giả thiết, BM = 1/2AC. Từ đó suy ra AM = MC = BM.Tam giác ABC có BM là đường trung tuyến ứng với cạnh AC.

Mà BM=AM=MC(chứng minh trên)

Suy ra BC=1/2AC

Xét Tứ giác ABCD Tứ giác ABCD có: góc A = 90 độ (Giả thiết hình thang vuông). Góc D = 90độ (Giả thiết hình thang vuông). Góc B= 90độ (Chứng minh trên).

Ta biết rằng tổng bốn góc trong một tứ giác là 360độ Góc A+ góc B + góc C+ góc D = 360độ 90độ+ 90độ+ góc C+ 90 độ= 360độ suy ra góc C= 360 độ- 270độ = 90 độ Vậy, tứ giác ABCD có bốn góc đều bằng 90 độ góc A = góc B= góc C= góc D= 90 độ

Định nghĩa Hình chữ nhật: Hình chữ nhật là tứ giác có bốn góc vuông.

Do đó tứ giác ABCD là hình chữ nhật

Xét Tam giác ABC có AH đường cao ( AH vuông BC tại H (hay góc AHC = 90độ). I là trung điểm của AC. D thuộc tia HI và IH =ID

Suy ra I là trung điểm của HD.

Xét tứ giác AHCD có: I là trung điểm của đường chéo AC (theo giả thiết). I là trung điểm của đường chéo HD (do D thuộc tia HI và IH = ID).Vì hai đường chéo AC và HD của tứ giác AHCD cắt nhau tại trung điểm I của mỗi đường, nên AHCD là hình bình hành.Theo giả thiết, AH là đường cao của tam giác ABC nên AH vuông góc BC tại H.

Hình bình hành AHCD có một góc vuông (gócAHC = 90độ). Do đó, tứ giác AHCD là hình chữ nhật (theo dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật).