Xét tứ giác \(A M B Q\):

a,

• Từ trên: \(\angle A M B = 90^{\circ}\) (vì \(A M \bot M B\))
• \(Q\) nằm trên đoạn \(A C\), và nối \(Q\) với \(B\), ta có \(B Q\) cắt \(A I\) tại \(H\), nhưng với câu a, chỉ cần xem xét cấu trúc của \(A M B Q\).

b,

• Xét \(\Delta A I B\) vuông tại \(I\) và có \(I P\) là đường trung tuyến.

Suy ra \(I P = \frac{1}{2} A B\) (2)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow Q P = I P \Rightarrow \Delta P Q I\) cân tại \(P\).

• Gọi \(M\) là trung điểm \(A C\), \(B M = \frac{1}{2} A C\) ⇒ Tam giác \(A B C\) có đường trung tuyến \(B M = \frac{1}{2} A C\).
• Trong tam giác, chỉ khi tam giác vuông tại \(B\) thì đường trung tuyến từ đỉnh \(B\) sẽ bằng nửa cạnh đối diện ⇒

\(BM=\frac{1}{2}AC\Rightarrow\triangle ABC\text{ vu}\hat{\text{o}}\text{ng t}ạiiB\)

• Ta đã có \(\angle A = 90^{\circ}\), nay lại có \(\angle B = 90^{\circ}\) ⇒ góc tại \(C\) và \(D\) cũng phải là \(90^{\circ}\).

⇒ Tứ giác \(A B C D\) có 4 góc vuông ⇒ là hình chữ nhật.

Gọi \(I\) là trung điểm của \(A C\), \(D\) thuộc tia đối của \(H I\) sao cho \(I H = I D\) ⇒ \(H\) và \(D\) đối xứng nhau qua \(I\).

Vì \(I\) là trung điểm của cả \(A C\) và \(H D\) ⇒ 2 đường chéo \(A C\) và \(H D\) cắt nhau tại trung điểm ⇒ tứ giác \(A H C D\) là hình bình hành.

Lại có \(A H \bot B C\), mà \(C \in B C\) ⇒ \(A H \bot H C\) ⇒ góc \(A H C = 90^{\circ}\).

Hình bình hành có một góc vuông ⇒ là hình chữ nhật.