a) Ta có: ��⊥��Ax⊥AC và ��By // ��AC

=>  ��⊥��Ax⊥By ⇒���^=90∘
⇒Góc AMB = 90 độ

Xét Δ���ΔMAQ và Δ���ΔQBM có

���^=���^​Góc MQA = góc BQM (so le trong);

��MQ là cạnh chung;

���^=���^Góc AMQ = góc BQM(Ax//QB)

Suy ra Δ���= Δ���ΔMAQ= ΔQBM (g-c-g)

Suy ra góc MBQ = góc MAQ= 90 độ (2 góc tương ứng)

Xét tứ giác AMBQ có

Góc QAM = góc AMB = góc MBQ = 90 độ

=> tứ giác ����AMBQ là hình chữ nhật.

b) Do tứ giác ����AMBQ là hình chữ nhật

Mà P là trung điểm AB

=>P là trung điểm của MQ; AB = MQ

=> PQ = 1/2 AB (1) 

Xét  tam giác AIB vuông tại I và có IP là đường trung tuyến

=> IP = 1/2 AB(2)

Từ (1) và (2)

=> QP =IP 

=> Tam giác PQI cân tại P

Xét ΔABC có:
BM là đường trung tuyến ứng với AC
Mà \(B M = \frac{1}{2} A C\) (gt)

⟹ ΔABC vuông tại B

Xét tứ giác ABCD có:
∠DAB = ∠ABC = ∠BCD = ∠D = 90°

⟹ Tứ giác ABCD là hình chữ nhật.

Xét tứ giác \(A H C D\) có:
\(I\) là giao điểm của hai đường chéo \(A C\) và \(D H\) (gt).

Mà \(I\) là trung điểm của \(A C\) (gt)
và cũng là trung điểm của \(D H\).

\(\Rightarrow\) Tứ giác \(A H C D\) là hình chữ nhật.