a) Xét tam giác APQ và tam giác BPM có:

• PA = PB

• Góc APQ = góc BPM (hai góc đối đỉnh)

• Góc QAP = góc MBP (vì AQ ∥ BM)

=> Tam giác APQ = tam giác BPM (g.c.g)

=> PQ = PM

=> AQBM là hình thang (2 đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường)

Mà góc QAM = 90^(AQ vuông góc với AM)

Nên AQBM là hình chữ nhật

Vậy AQBM là hình chữ nhật

b) Ta có:

PQ =AB/2

vì PQ là đường trung tuyến tương ứng cạnh huyền trong tam giác vuông ABQ) (1)

PI = AB/2(vì PQ là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền trong tam giác vuông AIB) (2)

Từ (1) và (2) ⇒ PQ = PI thuộc tam giác PIQ cân tại P

Vậy tam giác PIQ cân tại P.

Xét tứ giác AHCD:

Theo giả thiết, I là trung điểm của AC.

Theo giả thiết, D thuộc tia HI và IH = ID. Điều này có nghĩa là I là trung điểm của đoạn thẳng HD.

Xét tứ giác AHCD, ta thấy hai đường chéo AC và HD cắt nhau tại điểm I.

Vì I là trung điểm của cả hai đường chéo AC và HD, nên tứ giác AHCD là hình bình hành.

Vì AH là đường cao của tam giác ABC (theo giả thiết), nên AH vuông góc với đường thẳng BC.

Do đó, góc tạo bởi AH và HC là góc vuông, tức là ∠AHC = 90^

◦ Tứ giác AHCD là hình bình hành có một góc vuông (∠AHC = 90^).

◦ Theo dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật, một hình bình hành có một góc vuông là hình chữ nhật.

◦ Vậy, tứ giác AHCD là hình chữ nhật.

Xét tứ giác AHCD, ta có:

I là trung điểm của AC (theo giả thiết).

I là trung điểm của HD (vì IH = ID theo giả thiết).

Vì vậy, hai đường chéo AC và HD cắt nhau tại trung điểm I của mỗi đường.

Theo định nghĩa, tứ giác AHCD là hình bình hành.

minh AHCD có một góc vuông:

◦ Vì AH là đường cao của tam giác ABC, nên AH ⟂ BC. Suy ra, ∠AHC = 90^(

◦ Hình bình hành AHCD có một góc vuông (∠AHC = 90^)

suy ra hình bình hành AHCD là hình chữ nhật

vậy hình bình hành AHCD là hình chữ nhật