a) Vì MB ∥ AC và Q ∈ AC nên MB ∥ AQ. Lại do AM ⟂ AC nên AM ⟂ MB. Xét hai tam giác MBP và QAP:

• ∠MBP = ∠QAP (MB ∥ QA và PB, PA cùng nằm trên AB).
• ∠MPB = ∠QPA (MP là đường chung). Suy ra ΔMBP ~ ΔQAP ⇒ MP = QP.
  Vì P lại là trung điểm của AB nên P cũng là trung điểm của MQ. Hai đường chéo AB và MQ cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường nên tứ giác AMBQ là hình bình hành.
  Đã có AM ⟂ MB (do AM ⟂ AC và MB ∥ AC) nên hình bình hành AMBQ có một góc vuông, vậy AMBQ là hình chữ nhật.

b) Xét tam giác vuông AIB có P là trung điểm của AB ⇒ PI = PA = PB.
Xét tam giác vuông AMB có P là trung điểm của AB ⇒ PM = PA = PB ⇒ PM = PI.
Ở trên đã chứng minh MP = QP ⇒ QP = PI.

Vậy tam giác PIQ có PQ = PI, do đó tam giác PIQ cân tại P.

Gọi ABCD là hình thang vuông (AB ∥ CD, ∠A = ∠D = 90°).
M là trung điểm của AC nên MA = MC = AC/2.
Điều kiện BM = 1/2 AC ⇒ MB = MA = MC. Do đó A, B, C cùng thuộc đường tròn tâm M và AC là đường kính.

Vì B nằm trên đường tròn có đường kính AC nên theo định lí Thales: ∠ABC = 90°.
AB ∥ CD ⇒ ∠BCD = 90° (vì BC ⟂ AB và AB ∥ CD).

Lại có AD ⟂ AB và BC ⟂ AB nên AD ∥ BC.
Vậy AB ∥ CD và AD ∥ BC, tứ giác ABCD là hình bình hành có một góc vuông, nên ABCD là hình chữ nhật.

Gọi AH ⟂ BC (H là chân đường cao), I là trung điểm của AC.
Lấy D ∈ tia HI sao cho IH = ID ⇒ I là trung điểm của HD.

• Trong tứ giác AHCD, I nằm trên AC và HD và lại là trung điểm của cả hai đoạn này ⇒ hai đường chéo AC và HD cắt nhau tại trung điểm ⇒ AHCD là hình bình hành.
• Vì H ∈ BC và AH ⟂ BC ⇒ AH ⟂ HC ⇒ ∠AHC = 90°.

Hình bình hành có một góc vuông là hình chữ nhật.
Vậy tứ giác AHCD là hình chữ nhật.