a) Để chứng minh \(\triangle BHE\) là tam giác vuông cân, ta cần chứng minh hai điều: \(\widehat{BHE}=90^{\circ }\) và \(BH=HE\). Vì \(HE\perp BC\) nên \(\widehat{BHE}=90^{\circ }\). Do \(BH=HG=GC\) và tam giác \(ABC\) là tam giác vuông cân tại \(A\), ta có thể chứng minh tam giác \(BHE\) là tam giác vuông cân bằng cách chứng minh \(BH=HE\) hoặc \(\widehat{EBH}=45^{\circ }\). b) Để chứng minh tứ giác \(EFGH\) là hình vuông, ta cần chứng minh tứ giác có ba góc vuông và hai cạnh kề bằng nhau. Từ câu a), ta có \(EFGH\) có ba góc vuông ($ \widehat{EFG} = \widehat{FGH} = \widehat{GHE} = 90^\circ$). Ta có thể chứng minh \(EH=FG\) và \(EF=HG\) để chứng minh tứ giác này là hình chữ nhật. Cuối cùng, ta chứng minh \(EH=HG\) hoặc \(HE=FG\) để chứng minh tứ giác là hình vuông.

Chứng minh \(OBAC\) là hình chữ nhật Vì \(AB\perp Ox\) và \(AC\perp Oy\), nên \(\angle OBA=90^{\circ }\) và \(\angle OCA=90^{\circ }\). Vì \(\angle xOy=90^{\circ }\), nên ta có tứ giác \(OBAC\) là hình chữ nhật. 2. Chứng minh \(OBAC\) là hình vuông Vì \(Om\) là tia phân giác của góc \(xOy\), nên \(\angle AOy=\angle AOx=\frac{1}{2}\times 90^{\circ }=45^{\circ }\). Xét tam giác vuông \(OBA\), ta có \(\angle OBA=90^{\circ }\) và \(\angle AOx=45^{\circ }\). Do đó, tam giác \(OBA\) là tam giác vuông cân tại \(B\), suy ra \(OB=AB\). Vì \(OBAC\) là hình chữ nhật và có hai cạnh kề bằng nhau (\(OB=AB\)), nên \(OBAC\) là hình vuông.

a) Chứng minh MNPQ là hình bình hành Chứng minh O là trung điểm của MP: Trong hình bình hành ABCD, hai đường chéo cắt nhau tại O, suy ra O là trung điểm của AC và BD. Đường thẳng m đi qua O cắt AB tại M và CD tại P. Xét tam giác OAB và tam giác OCD: AB song song với CD (do ABCD là hình bình hành). Góc OAB = Góc OCD (so le trong). Góc OBA = Góc ODC (so le trong). Do đó, tam giác OAB đồng dạng với tam giác OCD. Vì AB // CD nên tam giác OAB đồng dạng tam giác OCD theo tỉ số đồng dạng là -1, suy ra O là trung điểm của MP. Xét hai tam giác OAM và OCP: OA = OC (O là trung điểm của AC). Góc OAM = Góc OCP (so le trong, do AB // CD). Góc AOM = Góc COP (đối đỉnh). Suy ra tam giác OAM = tam giác OCP (Trường hợp góc-cạnh-góc). Do đó, OM = OP, chứng tỏ O là trung điểm của MP. Chứng minh O là trung điểm của NQ: Xét tam giác ODN và tam giác QBN: OD = OB (O là trung điểm của BD). Góc ODN = Góc QBN (so le trong, do AD // BC). Góc DON = Góc QOB (đối đỉnh). Suy ra tam giác ODN = tam giác QBN (Trường hợp góc-cạnh- góc). Do đó, ON = OQ, chứng tỏ O là trung điểm của NQ. Kết luận: Vì O là trung điểm của MP và O là trung điểm của NQ, nên tứ giác MNPQ có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường. Do đó, MNPQ là hình bình hành. b) Chứng minh MNPQ là hình thoi Quan sát các tính chất của MNPQ: Ta đã chứng minh được MNPQ là hình bình hành. Đường thẳng n đi qua O và vuông góc với đường thẳng m. Điều này có nghĩa là hai đường chéo MP và NQ của hình bình hành MNPQ vuông góc với nhau. Kết luận: Vì MNPQ là hình bình hành có hai đường chéo MP và NQ vuông góc với nhau, nên MNPQ là hình thoi.

Chứng minh AMCN là hình bình hành: Vì ABCD là hình bình hành nên AB // CD và AB = CD. Vì M là trung điểm của AB và N là trung điểm của CD, nên AM = \frac{1}{2}AB và CN = \frac{1}{2}CD. Do AB = CD, suy ra AM = CN. Vì AB // CD, nên AM // CN. Từ AM // CN và AM = CN, ta kết luận tứ giác AMCN là hình bình hành. Chứng minh MN ⊥ AC: Trong hình bình hành AMCN, đường chéo MN là đường trung trực của đường chéo AC khi AMCN là hình thoi. Xét tam giác ADC, AD ⊥ AC, và N là trung điểm của DC. Trong tam giác vuông ADC, kẻ đường cao DN' (tạm thời) và trung tuyến AN'. Nếu N là trung điểm CD thì không phải đường trung trực. Cách khác (có lẽ là ý đồ của đề bài): Trong hình bình hành ABCD, ta có AC là đường chéo. M là trung điểm AB, N là trung điểm CD. Vì ABCD là hình bình hành, nên AD // BC và AD = BC. Xét tam giác ADC có AD ⊥ AC. Trong hình bình hành ABCD, vì AB // CD nên AM // CN. Do AM = CN, AMCN là hình bình hành. Do AC là đường chéo, MN là trung tuyến của tam giác ABD và tam giác CBD. Nếu ABCD là hình chữ nhật thì AMCN là hình chữ nhật. Vì AD ⊥ AC, ABCD không thể là hình chữ nhật. b) Tứ giác AMCN là hình gì? Như đã chứng minh ở câu a), tứ giác AMCN là hình bình hành. Để xác định AMCN là hình gì cụ thể hơn, ta xem xét các tính chất của nó: Hình thoi: Hình bình hành là hình thoi nếu có hai đường chéo vuông góc hoặc hai cạnh kề bằng nhau. Đường chéo AC và MN: Ta có AC là đường chéo, còn MN là đường nối trung điểm hai cạnh đối AB và CD. Vì AD ⊥ AC nên trong hình bình hành ABCD, ta suy ra rằng hai đường chéo không vuông góc với nhau, hoặc hai cạnh kề không bằng nhau.

Chứng minh tam giác đồng dạng: Vì ABCD là hình thoi, ta có AB // CD và AB = BC = CD = DA. Xét tam giác ABE và tam giác ADF: AB = AD (cạnh hình thoi). BE = DF (theo giả thiết). Góc ABE = Góc ADF (hai góc đối của hình thoi). Do đó, tam giác ABE = tam giác ADF (c.g.c). Suy ra AE = AF. Chứng minh tam giác GAB và tam giác HDF đồng dạng: Ta có G nằm trên BD và AE, H nằm trên BD và AF. Xét tam giác ABG và tam giác ADH: Góc GAB = Góc HAF (do AE và AF là hai đường chéo của tam giác cân AEF). Góc ABG = Góc ADH (hai góc đối đỉnh). AB = AD (cạnh hình thoi). Do đó, tam giác ABG = tam giác ADH (g.c.g). Suy ra AG = AH và BG = DH. Chứng minh G là trung điểm của BD: Do tam giác ABG = tam giác ADH, ta có BG = DH. Vì G và H đều nằm trên đường chéo BD, G là giao điểm của AE và BD, H là giao điểm của AF và BD. Do đó, G là trung điểm của BD. Chứng minh AGCH là hình thoi: Vì G là trung điểm của BD và AG = AH, nên ta có thể suy ra AGCH là hình bình hành. Vì AE = AF và AG = AH, suy ra tam giác AGH là tam giác cân. Vì tam giác ABE = tam giác ADF, ta có ∠AEB = ∠AFD. Vì G và H nằm trên BD, đường chéo BD là trục đối xứng của tam giác cân AEF. Do đó, đường chéo AC và BD vuông góc và cắt nhau tại trung điểm O của mỗi đường. Vì AG = AH, và G, H nằm trên BD. Vì AE và AF là các đường thẳng đối xứng qua đường chéo AC, ta có AG = AH. Do đó AGCH là hình thoi.

a) Vì A B C D là hình bình hành (gt) Suy ra A D = B C ; A D // B C Mà E , F là trung điểm của A D , B C (gt) Suy ra A E = E D = B F = F C Xét tứ giác E B F D ta có: E D = F B (cmt) E D // B F (do A D // B C ) Suy ra E D F B là hình bình hành b) Vì A B C D là hình bình hành (gt) Suy ra O là trung điểm của A C và B D Mà D E B F là hình bình hành (gt) Suy ra O cũng là trung điểm của E F Suy ra E , O , F thẳng hàng

Xét ΔABC có hai đường trung tuyến BM và CN cắt nhau tại G. Suy ra G là trọng tâm của tam giác.⇒BG = 23 BM; GM = 13 BM (1). Mà: P G = 1 2 B G = 1 2 . 2 3 B M = 1 3 B M ( 2 ) Từ (1), (2) suy ra GM = PG Chứng minh tương tự ta cũng có QG = GN Tứ giác PQMN có hai đường chéo QN và PM cắt nhau tại trung điểm mỗi đường nên tứ giác PQMN là hình bình hành

a) Do ABCD là hình bình hành nên AB // CD, DC = AB, suy ra AE // DF, AE = 2AB = 2CD = DF. ⇒ AEFD là hình bình hành. Tương tự, tứ giác ABFC có các cạnh đối song song và bằng nhau nên ABFC là hình bình hành. b) Vì AEFD là hình bình hành nên AF cắt ED tại trung điểm mỗi đường. Vì ABFC là hình bình hành nên AF cắt BC tại trung điểm mỗi đường. Vậy ba trung điểm của AF, DE, BC trùng nhau.

Vì ABCD là hình bình hành nên ta có: • Hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O nên OA = OC, OB = OD. • AB // CD nên AM // CN suy ra ˆ O A M = ˆ O C N (hai góc so le trong). Xét ∆OAM và ∆OCN có: ˆ O A M = ˆ O C N (chứng minh trên) OA = OC (chứng minh trên) ˆ A O M = ˆ C O N (hai góc đối đỉnh) Do đó ∆OAM = ∆OCN (g.c.g). Suy ra AM = CN (hai cạnh tương ứng) Mặt khác, AB = CD (chứng minh trên); AB = AM + BM; CD = CN + DN. Suy ra BM = DN. Xét tứ giác MBND có: • BM // DN (vì AB // CD) • BM = DN (chứng minh trên) Do đó, tứ giác MBND là hình bình hành.

a) Do ABCD là hình bình hành nên AB // CD, AB = CD, từ đó AE // CF, AE = EB = DF = FC. Do đó tứ giác AEFD là hình bình hành. Tương tự, tứ giác AECF là hình bình hành vì có hai cạnh đối AE và CF song song và bằng nhau. b) Vì AEFD là hình bình hành nên AD = EF. Vì AECF là hình bình hành nên AF = EC.