có

a) Xét tam giác \(ABH\) vuông tại \(H\), ta có

\(\tan BAH=\frac{HB}{AH}\)

 \(HB=AH.tanBAH=4.tan⁡28^{\circ}\approx2,1\) (cm)

Vì tam giác \(AHC\) vuông tại \(H\) nên

\(\cot C=\frac{HC}{AH}\)

 \(HC=AH.cot⁡C=4.cot⁡41^{\circ}\approx4,6\) (cm)

b) Xét tam giác \(ABH\) vuông tại \(H\), ta có

\(cosBAH=\frac{AH}{AB}\) 

 \(AB=\frac{AH}{cosBAH}=\frac{4}{cos ⁡ 28 ^{\circ}}\approx4,5\) (cm)

Vì tam giác \(AHC\) vuông tại \(H\) nên \(sin⁡C=\frac{AH}{AC}\) 

 \(AC=\frac{AH}{sin⁡C}=\frac{4}{sin ⁡ 4 1^{\circ}}\approx6,1\) (cm).

SinB=\(\frac{AH}{AB}\)

 \(AH=AB.sin⁡B=3.sin⁡60^{\circ}\approx2,6\)

\(\cos B=\frac{BH}{AB}\)

 \(BH=AB.cos⁡B=3.cos⁡60^{\circ}=1,5\)

Mà \(HC=BC-HB=4,5-1,5=3\)

Theo định lí Pythagore ta có \(AB^2=BH^2+AH^2=3^2+2,6^2=15,76\)

Suy ra \(AB=\sqrt{15 , 76}\approx4\)

Xét \(\Delta AHC\) vuông tại \(A\) ta có \(tanACH=\frac{AH}{HC}\approx\frac{2,6}{3}\approx tan⁡40^{\circ}55^{^{\prime}}\)

Do \(A=180^{\circ}-B-C=180^{\circ}-\left(\right.60^{\circ}+40^{\circ}55^{^{\prime}}\left.\right)=79^{\circ}5^{^{\prime}}\).

SinB=AH/AB

\(AH=AB.sin⁡B=2,1.sin⁡70^{\circ}\approx1,97\)

CosB=BH/AB

 \(BH=AB.cos⁡B=2,1.cos⁡70^{\circ}\approx0,72\)

Xét \(\Delta AHC\) vuông tại \(H\) ta có

\(sin⁡C=\frac{AH}{CH}\approx\frac{1 , 97}{3 , 8}\approx sin⁡31^{\circ}14^{^{\prime}}\)

 \(C\approx31^{\circ}14^{^{\prime}}\)

Mà \(A=180^{\circ}-\left(\right.70^{\circ}+31^{\circ}14^{^{\prime}}\left.\right)=78^{\circ}46^{^{\prime}}\)

Ta có \(HC=AC.cos⁡C\approx3,80.cos⁡31^{\circ}14^{^{\prime}}\approx3,25\)

Mà \(BC=BH+HC=0,72+3,25=3,97\).

Ta có ∠A=180-40-65=75\(\)

Kẻ đường cao \(\)BH

Xét \(\Delta BCH\) vuông tại H \(\), ta có:

SinC=BH/BC

\(BH=BC.sin⁡C=4,2.sin⁡40^{\circ}\approx2,70\) (cm)

Tương tự, xét \(\Delta ABH\) vuông tại \(H\), ta có:

SinA=BH/AB

\(AB=\frac{BH}{sin⁡A}=\frac{2 , 70}{sin ⁡ 7 5^{\circ}}\approx2,8\) (cm)

Ta có \(AC=AH+CH=BH.\left(\right.cot⁡A+cot⁡C\left.\right)\approx2,70.\left(\right.cot⁡75^{\circ}+cot⁡40^{\circ}\left.\right)\approx3,9\) cm.

AHBC45652,8 cm

Xét Δ ABH vuông tại H

Ta có : sinB = AH/AB

Sin65∘ = AH/2,8

=>AH = sin65∘ . 2,8≃2,54 (cm)

CosB =BH/AB

⇒BH=2,8 . Cos65∘ ≃1,18(cm)

Xét ΔACH vuông tại H

SinC=AH/AC

Sin45∘=2,54 / AC

AC=2,54/sin45∘≃3,59 (cm)

CosC=CH/AC

CH= cos45∘ . 3,59 ≃2,54(cm)

BC= 2,54+1,18=3,72(cm)

∠BAC = 180∘-45∘-65∘=70∘