giả sử AD cắt BC tịa E

Khi đó từ giả thiết gíc C + gíc D =90° suy ra góc E =180°-(C-D) =90°

Ta lần lượt có MN//AD//PQ

MQ//BC//PN

Do đó dưa trên tính chất của góc có cạnh tương ứng song song ta đc gócMNQ= gócNPQ=E=90°.

Vậy bốn điểm M,N,P,Q cùng nằm trên đường tròn đường kính NQ

ΔABC đều mà AM,BN,CP là các đường trung tuyến nên AM,BN,CP là các đường cao Xét tứ giác BPNC có góc BPC=BNC =90

nên BPNC là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính BC

=}B,N,P,C ùng thuộc một đường tròn

bán kính R=BC/2=a/2

ΔABC đều mà AM,BN,CP là các đường trung tuyến nên AM,BN,CP là các đường cao Xét tứ giác BPNC có góc BPC=BNC =90

nên BPNC là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính BC

=}B,N,P,C ùng thuộc một đường tròn

bán kính R=BC/2=a/2

Ta có: góc AEM=90 độ nên E nằm trên đường tròn đường kính AM(1) Ta có: góc AHM=90 độ nên H nằm trên đường tròn đường kính AM(2) Ta có: góc ADM=90 độ nên D nằm trên đường tròn đường kính AM(3) Từ (1), (2) và (3) suy ra A,D,M,H,E cùng nằm trên 1 đường tròn

a) Vì d là một đường kính của đường tròn và B đối xứng với A qua d nên từ A ∈ (O) suy ra AB ⊥ d. Lại có O là tâm của đường tròn và C, D lần lượt là điểm đối xứng với A, B qua O nên từ A, B ∈ (O) suy ra C và D cũng thuộc đường tròn (O). Vậy ba điểm B, C và D thuộc đường tròn (O).

b) Vì C đối xứng với A qua O nên O là trung điểm của AC. Vì D đối xứng với B qua O nên O là trung điểm của BD. Tứ giác ABCD có hai đường chéo AC và BD và O là trung điểm của AC và BD nên ABCD là hình bình hành. Lại có, AC = BD (cùng bằng đường kính của (O)). Do đó, hình bình hành ABCD là hình chữ nhật.

c) Vì B là điểm đối xứng với A qua d nên d là đường trung trực của AB. Hình chữ nhật ABCD có AB // CD nên d cũng là đường trung trực của CD. Do đó C và D đối xứng với nhau qua d.

a) Do ABCD là hình vuông nên AC = BD và E là trung điểm của AC và BD. Suy ra: EA = EB = EC = ED Vậy A, B, C, D cùng thuộc một đường tròn hay chỉ có một đường tròn duy nhất đi qua bốn điểm này. Đường tròn (E) có tâm E là tâm đối xứng và có hai trục đối xứng là AC và BD. b) Áp dụng định lý Pythagore với tam giác ABC vuông tại B có:AC^2=AB^2+BC^2=3^2+3^2=18

suy ra AC =3√2(cm)

vậy bán kính có đường tròn là EA=AC/2=3√2/2(cm)

a) Do ABCD là hình vuông nên AC = BD và E là trung điểm của AC và BD. Suy ra: EA = EB = EC = ED Vậy A, B, C, D cùng thuộc một đường tròn hay chỉ có một đường tròn duy nhất đi qua bốn điểm này. Đường tròn (E) có tâm E là tâm đối xứng và có hai trục đối xứng là AC và BD. b) Áp dụng định lý Pythagore với tam giác ABC vuông tại B có:AC^2=AB^2+BC^2=3^2+3^2=18

suy ra AC =3√2(cm)

vậy bán kính có đường tròn là EA=AC/2=3√2/2(cm)

Do tứ giác tạo bởi 4 trung điểm của hình thoi là hình chữ nhật (đã chứng minh ở lớp 8) Mà hình chữ nhật có 4 đỉnh cách đều giao điểm của hai đường chéo của nó Do đó 4 đỉnh của hình chữ nhật cùng thuộc đường tròn có tâm là giao điểm hai đường chéo của nó Vậy 4 trung điểm của cạnh hình thoi cùng thuộc một đường tròn

Gọi O là trung điểm của BC. Ta có: BD là đường cao nên BD ⊥ AC, hay tam giác BDC vuông tại D. Trong tam giác vuông BDC có DO là trung tuyến ứng với cạnh huyền BC nên OD = OB = OC = 1/2BC (1).

Tương tự, ta có: OE = OB = OC =1/2BC (2)và OF = OB = OC = 1/2BC

Do đó, năm điểm B, C, D, E, F cùng thuộc một đường tròn (O; R) với R = 1/2BC.

Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD. Theo tính chất hai đường chéo của hình chữ nhật, ta có:

OA=OB=OC=OD=1/2AC=1/2BD

Do đó, bốn điểm A, B, C, D cùng thuộc đường tròn(O;1/2AC)