Gọi \(E , F\) lần lượt là trung điểm của \(A C , A B\). Khi đó \(B E , C F\) là hai đường trung tuyến và \(G\) là trọng tâm nên

Vì \(B E = C F\) nên suy ra \(B G = C G\).

Xét tam giác \(B G C\) có \(B G = C G\) nên là tam giác cân tại \(G\), do đó đường thẳng đi qua \(G\) và trung điểm của \(B C\) vuông góc với \(B C\).

Mặt khác, trong tam giác \(A B C\), trọng tâm \(G\) luôn nằm trên đường thẳng nối đỉnh \(A\) với trung điểm của \(B C\). Vậy đường thẳng đó chính là \(A G\).

Suy ra \(A G \bot B C\).

Gọi \(D , E\) lần lượt là trung điểm của \(A C , A B\), \(G\) là trọng tâm nên

a) Vì \(M\) thuộc tia đối của tia \(D B\) và \(D M = D G\) nên \(D\) là trung điểm của \(M G\). Do đó

Tương tự, \(N\) thuộc tia đối của tia \(E G\) và \(E N = E G\) nên \(E\) là trung điểm của \(G N\), suy ra

b) Từ (a) suy ra \(G\) là trung điểm của \(B M\) và \(C N\). Xét tứ giác \(B M C N\), hai đường chéo \(B M\) và \(C N\) cắt nhau tại trung điểm \(G\) nên \(B M C N\) là hình bình hành. Do đó

Vậy \(M N \parallel B C\) và \(M N = B C\).

Gọi \(D\) là trung điểm của \(A C\).

Ta có \(B E = 2 E D \Rightarrow E\) là trọng tâm của tam giác \(B D A\). Lại có \(B F = 2 B E \Rightarrow B , E , F\) thẳng hàng và \(E\) là trung điểm theo tỉ lệ trên đoạn \(B F\).

a) Xét tam giác \(E F C\):
\(K\) là trung điểm của \(C F\) nên \(E K\) là trung tuyến.
Mặt khác, vì \(D\) là trung điểm của \(A C\) và các tỉ lệ đã cho dẫn đến \(G\) chia trung tuyến \(E K\) theo tỉ lệ \(E G : G K = 2 : 1\).
Suy ra \(G\) là trọng tâm tam giác \(E F C\).

b) Vì \(G\) là trọng tâm tam giác \(E F C\) nên

\(\frac{G E}{G K} = 2.\)

Mặt khác, trong tam giác \(A D C\), \(D\) là trung điểm của \(A C\) nên

\(\frac{G C}{D C} = 2.\)

Vậy

\(\frac{G E}{G K} = 2 , \frac{G C}{D C} = 2.\)

Gọi \(M\) là trung điểm của \(A B\).

Vì \(B G = 2 G C\) nên \(G\) là trọng tâm của tam giác \(B C D\) (do \(C\) là trung điểm của \(A D\)). Mặt khác \(E\) là trung điểm của \(B D\) nên \(C E\) là đường trung tuyến của tam giác \(B C D\). Do đó \(G\) nằm trên \(C E\).

Mặt khác, vì \(C\) là trung điểm của \(A D\) nên \(A C = C D\), suy ra \(C\) là trọng tâm của tam giác \(A A D\). Do đó các điểm \(A , G , E\) thẳng hàng.

b) Trong tam giác \(A B D\), \(C\) là trung điểm của \(A D\) và \(E\) là trung điểm của \(B D\) nên \(C E\) là đường trung bình, suy ra \(C E \parallel A B\). Vì \(G \in C E\) nên đường thẳng \(D G\) cắt \(A B\) tại trung điểm \(M\).

Vậy \(D G\) đi qua trung điểm của \(A B\).

Gọi \(D , E\) lần lượt là trung điểm của \(A C , A B\).

a) Vì \(A B C\) cân tại \(A\) nên \(A B = A C\). Xét hai tam giác \(A B D\) và \(A C E\):
\(A B = A C , \&\text{nbsp}; A D = A E\) (tính chất trung điểm), \(\angle B A D = \angle C A E\) ⇒ hai tam giác bằng nhau ⇒ \(B D = C E\).

b) Do \(B D = C E\) nên trọng tâm \(G\) nằm trên trục đối xứng của tam giác \(A B C\) (đường trung trực của \(B C\)). Suy ra \(G B = G C\), vậy tam giác \(G B C\) là tam giác cân.

c) Vì \(G\) là trọng tâm nên

\(G D = \frac{1}{3} B D , G E = \frac{1}{3} C E .\)

Suy ra

\(G D + G E = \frac{1}{3} \left(\right. B D + C E \left.\right) = \frac{2}{3} B D .\)

Trong tam giác \(B C D\) có bất đẳng thức tam giác \(B D > \frac{1}{2} B C\). Do đó

\(G D + G E = \frac{2}{3} B D > \frac{1}{2} B C .\)

Vậy \(G D + G E > \frac{1}{2} B C\).

Gọi \(M , N\) lần lượt là trung điểm của \(A C , A B\). Vì \(G\) là trọng tâm nên

Suy ra

Trong tam giác \(B G C\) có bất đẳng thức tam giác \(B G + C G > B C\), do đó

Vậy \(B M + C N > \frac{2}{3} B C\).