Gọi \(G\) là trọng tâm của tam giác \(A B C\). Khi đó ta có các tính chất rất cơ bản của trọng tâm:

\(B G = \frac{2}{3} B M , C G = \frac{2}{3} C N .\)

Suy ra

\(B M = \frac{3}{2} B G , C N = \frac{3}{2} C G .\)

Cộng hai đẳng thức này lại:

\(B M + C N = \frac{3}{2} \left(\right. B G + C G \left.\right) .\)

Áp dụng bất đẳng thức tam giác

Xét tam giác \(B G C\). Theo bất đẳng thức tam giác:

\(B G + C G > B C\)

(dấu “=” chỉ xảy ra khi \(B , G , C\) thẳng hàng, điều này không thể xảy ra trong tam giác không suy biến).

Nhân cả hai vế với \(\frac{3}{2}\), ta được:

\(\frac{3}{2} \left(\right. B G + C G \left.\right) > \frac{3}{2} B C .\)

Mà \(\frac{3}{2} \left(\right. B G + C G \left.\right) = B M + C N\), nên:

\(\boxed{B M + C N > \frac{3}{2} B C} .\)