a,xét tam giác ABD có C là trung điểm của cạnh AD suy ra BC là trung tuyến của tam giác ABD

ta có G\(\in BCvà\) GB=2GC suy ra GB=2/3 .BC nên G là trọng tâm của tam giác ABD

vì E là trung điểm của BD nên AE là đường trung tuyến của tam giác ABD nên 3 điểm A, G , E thẳng hàng

b, G là trọng tâm tam giác ABD nên DG là đường trung tuyến của tam giác này. Suy ra DG đi qua trung điểm của cạnh BC

a, xét tam giác AFC có D là trung điểm của EF, K là trung điểm của CF

mà G là giao điểm của EK và AC nên G là trọng tâm tam giác EFC

b, vì G là trọng tâm tam giác EFC nên GE = 2/3EK suy ra GE=2GK hay GE/GK=2

nên CG=2/3 DC

a, ta có DM=DG suy ra GM=2GD

G là giao điểm của BD và CE nên G là trọng tâm của tam giác ABC

suy ra BG=GM

chứng minh như trên ta có CG=GN

b, xét tam giac GMN và GBC có

GM=GB(cmt)

MGN=BGC( 2 góc đối đỉnh)

GN=GC(cmt)

nên tam giác GMN=tam giác GBC(c.g.c)

suy ra MN=BC(hai cạnh tương ứng)

tam giác GMN=tam giác GBC nên góc NMG=góc CBG(hai góc tương ứng)

Mà NMG và CBG so le trong nên MN // BC

BE là đường trung tuyến cạnh AC, CF là đường trung tuyến cạnh AB

vậy AC =AB suy ra tam giác ABC can tại A

nối A với G

xét tam giác ABC có BE và CF là 2 đường trung tuyến cắt nhau tại G

suy ra G là trọng tâm tam giác ABC và AG là đường trung tuyến ứng với cạnh BC

tam giác ABC cân tại A nên đường trung tuyến AG cũng là đường cao

vậy AG vuông góc với BC

xét tam giác ABC có

BM,CN cắt CN tại G

do đó G là trọng tâm của tam giác ABC

suy ra GB=\(\frac23MB;GC=\frac23CN\)

xét tam giác GBC có GB+GC>BC

Nên \(\frac23\left(BM+CN\right)>BC\)

vậy \(BM+CN>\frac23BC\)