a)Vì AH vuông góc BD và CK vuông góc BD nên AH song song CK(hai đường thẳng cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba).

Xét tam giác ADH và tam giác CBK có: góc AHD bằng góc CKB bằng 90 độ; AD=BC; góc ADH bằng góc CKB(so le trong).

=>tam giác AHD bằng tam giác CBK.(cạnh huyền-góc nhọn)

=>AH=CK.

Tứ AHCK có AH song song CK và AH bằng CK nên AHCK là hình bình hành(dấu hiệu nhận biết).

b) Vì AHCK là hình bình hành nên hai đường chéo HK và AC cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.

Mà I là trung điểm của Hk.

=>I cũng là trung điểm của AC.

Ta lại có hình bình hành ABCD có hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại trung điểm .

=>I là trung điểm của BD hay IB=ID.

a) Xét hình bình hành ABCD có: AD song song BC, AD bằng BC( tính chất).

Ta có: E là trung điểm của AD=> AE=DE=1/2AD.

F là trung điểm của BC =>BF=CF=1/2BC.

Mà AD=BC nên AE=DE=BF=CF.

Xét tứ giác EBFD có : ED=BF và ED song song BF(vì AD song song BC).

=>EBFD là hình bình hành( có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau).

Vậy EBFD là hình bình hành.

b)Vì EBFD là hình bình hành nên O là trung điểm của BD.

Theo tính chất hình bình hành, hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường. Do đó, đường chéo EF của hình bình hành EBFD phải đi qua trung điểm của đường chéo BD.

Mà O là trung điểm của BD nên EF cũng đi qua O.

Vậy ba điểm E, O, F thẳng hàng.

Xét tam giác GBC có hai đường trung tuyến BM và CN cắt nhau tại G nên G là trọng tâm của tam giác ABC.

=>GM=GB/2; GN=GC/2.

Mà P là trung điểm của GB nên GP=PB=GB/2

Q là trung điểm của GC nên GQ=GC=GC/2.

=>GM=GP và GN=GQ

Xét tứ giác PGMN có GM=GP và GN=GQ.

=>PGMN là hình bình hành.

Vậy PGMN là hình bình hành.

a) Vì ABCD là hình bình hành nên AB =CD.

Vì B là trung điểm của AE nên AB=BE. Do đo, DC=1/2 DF.

Vì C là trung điểm của DF nên DC=CF. Do đo, DF=2DC.

Vì AB = DC nên AE=DF.

Tứ giác AEDF có AE=DF do đo AEDF là hình bình hành.

Vì ABCD là hình bình hành nên AB=DC.

Vì C là trung điểm của DF nên DC=CF.

Từ 2 điều trên ta có AB=CF.

Tứ giác ABFC có AB=CF do đó ABCF là hình bình hành.

b)Gọi M là trung điểm của BC.

Trong tam giác ABF vì ABFC là hình bình hành nên 2 đường chéo AF và BC cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.

=>Trung điểm của AF cũng là M.

Gọi N là trung điểm của DE.

Trong tam giác ADE, ta có:

B là trung điểm của AE

C là trung điểm của DF

BC là đường nối trung điểm của 2 cạnh trong tam giác ADF.

Xét tứ giác AEDF là hình bình hành có : hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.

=> Trung điểm của À cũng là trung điểm của DE.

Từ trên, ta thấy trung điểm của AF,BC,DE đều là một điểm. Do đó, trung điểm của 3 đoạn thẳng AF,DE,BC trùng nhau.

Vì ABCD là hình bình hành nên O là trung điểm của AC và BD.

Do đó, OA=OC và OB=OD.

Vì AB song song CD nên góc OAM bằng góc OCN(2 góc so le trong). Góc AOM bằng góc CON( hai góc đối đỉnh).

Xét tam giác OAM và tam giác OCN có:

OA=OC(cmt)

Góc OAM=góc OCN(cmt)

Góc AOM=góc CON(cmt)

=>Tam giác OAM bằng tam giác OCN(g.c.g)

Vậy tam giác OAM bằng tam giác OCN.

Từ tam giác OAM bằng tam giác OCN suy ra OM=ON và AM=CN.

Ta có: AB=CD(tính chất hình bình hành)

MB=AB-AM

ND=CD-CN

Vì AB=CD và AM=CN nên MB=ND.

Tứ giác MBND có hai đường chéo MN và BD cắtnhau tai trung điểm O của mỗi đường(OM=ON và OB=OD).

Vậy tứ giác MBND là hình bình hành.(dấu hiệu nhận biết)

a) Theo đề bài ta có:

Vì ABCD là hình bình hành nên AD song song CD.

Vì E là trung điểm của AB và F là trung điểm của CD nên AE=EB=1/2AB và DF=FC=1/2CD.

Do AB=CD nên AE=DF.

Lại có AB song song CD nên AE cũng song song DF. Tứ giác AEDF có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau.

=>AEDF là hình bình hành(dấu hiệu nhận biết).

Tương tự ta có:AE=FC(vì AE=1/2AB, FC=1/2CD và AB=CD)

Lại có AB song song CD nên AE song song FC. Tứ giác AECF có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau.

=>AECF là hình bình hành(dấu hiệu nhận biết).

Vậy AECF và AEDF là hình bình hành.

I love living in the countryside of many reasons. First, the cost of living is much lower than in the city. I can save a lot of money on rent and food. Second, the air is fresh and clean, which is great for my health. I also enjoy the beautiful scenry and green spaces. Finally, the people here are very hospitable and friendly, always willing to help each other. Therefore, I really love living in the countryside.