Xét \(\Delta A B C\) vuông tại \(B\), ta có:

\(tan ⁡ \hat{B A C} = \frac{B C}{A B} = \frac{2}{2 , 5} = 0 , 8\) (tỉ số lượng giác của góc nhọn)

Suy ra \(\hat{B A C} \approx 38 , 7^{\circ}\)

Ta có: \(\hat{B A D} = \hat{B A C} + \hat{C A D} = 38 , 7^{\circ} + 2 0^{\circ} = 58 , 7^{\circ}\)

Xét \(\Delta A B D\) vuông tại \(B\), ta có:

\(tan ⁡ \hat{B A D} = \frac{B D}{A B}\) (tỉ số lượng giác của góc nhọn)

Suy ra \(B D = A B . tan ⁡ \hat{B A D} = 2 , 5. tan ⁡ 58 , 7^{\circ} \approx 4 , 1\) m.

\(C D = B D - B C = 4 , 1 - 2 = 2 , 1\) m.

Vậy độ dài vùng được chiếu sáng trên mặt đất là \(2 , 1\) m.

1)  \(sin⁡35^{\circ}=cos⁡\left(\right.90^{\circ}-35^{\circ}\left.\right)=cos⁡55^{\circ}\);

\(tan ⁡ 2 8^{\circ} = cot ⁡ \left(\right. 9 0^{\circ} - 2 8^{\circ} \left.\right) = cot ⁡ 6 2^{\circ}\).

2) Xét \(\Delta A B C\) vuông tại \(A\), ta có:

\(B C = 20\)

\(cos ⁡ \hat{B} = \frac{A B}{B C} = \frac{A B}{20} = cos ⁡ 3 6^{\circ}\)

Suy ra \(A B = B C . cos ⁡ 3 6^{\circ} \approx 16 , 18\) cm.

Gọi tốc độ của xe máy lúc về là \(x\) (km/h), \(x > 0\)

Tốc độ của xe máy lúc đi là: \(x + 10\) (km/h)

Thời gian của xe máy lúc đi là \(\frac{60}{x + 10}\) (h)

Thời gian của xe máy lúc về là \(\frac{60}{x}\) (h)

Theo bài ra ta có phương trình:

\(\frac{60}{x} - \frac{60}{x + 10} = \frac{1}{2}\)

\(\frac{120 x + 1200}{2 x \left(\right. x + 10 \left.\right)} - \frac{120 x}{2 x \left(\right. x + 10 \left.\right)} = \frac{x \left(\right. x + 10 \left.\right)}{2 x \left(\right. x + 10 \left.\right)}\)

\(120 x + 1200 - 120 x = x \left(\right. x + 10 \left.\right)\)

\(x^{2} + 10 x = 1 200\)

\(x^{2} + 10 x + 25 = 1 225\)

\(\left(\left(\right. x + 5 \left.\right)\right)^{2} = 1 225\)

\(x+5=35vàx+5=-35\)

\(x=30vàx=-30\)

Đối chiếu điều kiện, ta có: \(x = 30\) thỏa mãn.

Vậy tốc độ của xe máy lúc về là \(30\) km/h.

a) Điều kiện xác định: \(x \neq - 5\)

Ta có: \(\frac{x + 6}{x + 5} + \frac{3}{2} = 2\)

\(\frac{x + 6}{x + 5} = \frac{1}{2}\)

\(2 \left(\right. x + 6 \left.\right) = x + 5\)

\(2 x + 12 = x + 5\)

\(x = - 7\) (thỏa mãn điều kiện)

Vậy phương trình đã cho có nghiệm \(x = - 7\).

b)  x + 3y = -2

x = -2 - 3y (1)

5x + 8y = 11 (2)

Thế (1) vào (2), ta được:

5(-2 - 3y) + 8y = 11

-10 - 15y + 8y = 11

-7y = 11 + 10

-7y = 21

y = 21 : (-7)

y = -3

Thế y = -3 vào (1), ta được:

x = -2 - 3.(-3) = 7

Vậy phương trình có nghiệm (7;-3)

a) \(t > - 5\).

b) \(x \geq 16\).

c) Với \(y\) (đồng) là mức lương tối thiểu cho một giờ làm việc của người lao động, ta có bất đẳng thức \(y \geq 20 000\).

d) \(y > 0\).

Vẽ \(A K ⊥ B C\) tại K, \(AH\bot DC\) tại \(H\).

Khi đó tứ giác \(A K C H\) là hình chữ nhật nên \(A K = C H\); \(A H = C K\)

Trong tam giác vuông \(A K B\) vuông tại \(K\) có \(A B = 10\) cm, \(\hat{A B K} = 7 0^{\circ}\) 

\(AK=AB.sin⁡70^{\circ}=10.sin⁡70^{\circ}\) suy ra \(AK=CH=10.sin⁡70^{\circ}\)

hay \(DH=CD-HC=15-10.sin⁡70^{\circ}\)

\(BK=AB.cos⁡70^{\circ}=10.cos⁡70^{\circ}\)

Suy ra \(CK=CB-BK=13-10.cos⁡70^{\circ}\)

hay \(AH=CK=13-10.cos⁡70^{\circ}\)

Theo định lí Pythagore trong tam giác vuông \(A D H\):

\(AD=\sqrt{A H^{2} + D H^{2}}=\sqrt{\left(\right.13-10.cos⁡70^{\circ}\left.\right)^{2k}+\left(\right.15-10.sin⁡70^{\circ}\left.\right)^2}\approx11,1\) m.

a) \(\Delta C E F \sim \Delta C B A\) (g-g) suy ra  \(\frac{C F}{C E} = \frac{A C}{B C}\) nên

\(\Delta C F A \sim \Delta C E B\) (c-g-c) suy ra \(\frac{A F}{B E} = \frac{A C}{B C}\) hay \(\frac{A F}{B E} = cos ⁡ C\).

Vậy \(A F = B E . cos ⁡ C\).

b) Vì \(\Delta A B C\) có \(\hat{A} = 9 0^{\circ}\) nên  \(A B = sin ⁡ C . B C = 0 , 6.10 = 6\) cm.

Suy ra \(A C = 8\) cm nên \(A E = E C = 4\) cm.

Mà \(E F = sin ⁡ C . E C = 0 , 6.4 = 2 , 4\) cm.

Suy ra \(F C = 3 , 2\) cm (Định lí Pythagore)

\(S_{ABFE}=S_{ABC}-S_{CFE}=\frac{1}{2}.\left(\right.AB.AC-EF.FC\left.\right)=\frac{1}{2}\left(\right.6\cdot8-2,4\cdot3,2\left.\right)=20,16\) (cm\(^{2}\)).

Gọi \(x\), \(y\) (triệu đồng) lần lượt là số tiền hai khoản đầu tư của bác Phương (\(x , y > 0\))

Tổng số tiền bác Phương đầu tư là \(800\) triệu đồng nên ta có phương trình \(x + y = 800\) (1)

Lãi suất cho khoản đầu tư thứ nhất là \(6 \%\)/năm và khoản đầu tư thứ hai là \(8 \%\)/năm, nên ta có phương trình

\(0 , 06. x + 0 , 08. y = 54\) (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình\(x+y=800và0,06+0,08=54\)

Giải hệ phương trình ta được \(x=500;y=300\) (thỏa mãn)

Vậy bác Phương đầu tư cho khoản thứ nhất và khoản thứ hai lần lượt là \(500\) triệu đồng và \(300\) triệu đồng.

a) Ta có: (3x-2)(2x+1)=0

nên 3x-2=0 hoặc 2x+1=0

TH1: 3x-2=0 hay 3x=2 suy ra x=2/3

TH2: 2x+1=0 hay 2x=-1 suy ra x=-1/2

Vậy phương trình có nghiệm x=2/3 và x=-1/2

b) 2x - y = 4 (1)

x + 2y = -3 (2)

Từ phương trình (1) suy ra y=2x-4 (3)

Thế (3) vào (2), ta được:

x + 2.(2x - 4) = -3

x + 4x - 8 = -3

5x = -3 + 8

5x = 5

x = 1

Thế x = 1 vào (3), ta được:

y = 2.1 - 4

y = -2

Vậy hệ phương trình có nghiệm (1;-2)

a) Gọi x (tuổi) là số tuổi của bạn An được đi bầu cử đại biểu Quốc hội. Ta có bất đẳng thức: x ≥ 18

b) Gọi m (kg) là khối lượng tối đa thang máy có thể chở được. Ta có bất đẳng thức: m ≤ 700

c) Gọi u (đồng) là số tiền mua hàng ít nhất để được giảm giá. Ta có bất đẳng thức: u ≥ 1000000

d) 2x - 3 > -7x + 2