Xét \(\Delta A B C\) vuông tại \(B\), ta có:

\(tan ⁡ \hat{B A C} = \frac{B C}{A B} = \frac{2}{2 , 5} = 0 , 8\) (tỉ số lượng giác của góc nhọn)

Suy ra \(\hat{B A C} \approx 38 , 7^{\circ}\)

Ta có: \(\hat{B A D} = \hat{B A C} + \hat{C A D} = 38 , 7^{\circ} + 2 0^{\circ} = 58 , 7^{\circ}\)

Xét \(\Delta A B D\) vuông tại \(B\), ta có:

\(tan ⁡ \hat{B A D} = \frac{B D}{A B}\) (tỉ số lượng giác của góc nhọn)

Suy ra \(B D = A B . tan ⁡ \hat{B A D} = 2 , 5. tan ⁡ 58 , 7^{\circ} \approx 4 , 1\) m.

\(C D = B D - B C = 4 , 1 - 2 = 2 , 1\) m.

Vậy độ dài vùng được chiếu sáng trên mặt đất là \(2 , 1\) m.

1)  \(sin⁡35^{\circ}=cos⁡\left(\right.90^{\circ}-35^{\circ}\left.\right)=cos⁡;55^{\circ}\);

\(tan ⁡ 2 8^{\circ} = cot ⁡ \left(\right. 9 0^{\circ} - 2 8^{\circ} \left.\right) = cot ⁡ 6 2^{\circ}\).

2) Xét \(\Delta A B C\) vuông tại \(A\), ta có:

\(B C = 20\)

\(cos ⁡ \hat{B} = \frac{A B}{B C} = \frac{A B}{20} = cos ⁡ 3 6^{\circ}\)

Suy ra \(A B = B C . cos ⁡ 3 6^{\circ} \approx 16 , 18\) cm.

Gọi tốc độ của xe máy lúc về là \(x\) (km/h), \(x > 0\)

Tốc độ của xe máy lúc đi là: \(x + 10\) (km/h)

Thời gian của xe máy lúc đi là \(\frac{60}{x + 10}\) (h)

Thời gian của xe máy lúc về là \(\frac{60}{x}\) (h)

Theo bài ra ta có phương trình:

\(\frac{60}{x} - \frac{60}{x + 10} = \frac{1}{2}\)

\(\frac{120 x + 1200}{2 x \left(\right. x + 10 \left.\right)} - \frac{120 x}{2 x \left(\right. x + 10 \left.\right)} = \frac{x \left(\right. x + 10 \left.\right)}{2 x \left(\right. x + 10 \left.\right)}\)

\(120 x + 1200 - 120 x = x \left(\right. x + 10 \left.\right)\)

\(x^{2} + 10 x = 1 200\)

\(x^{2} + 10 x + 25 = 1 225\)

\(\left(\left(\right. x + 5 \left.\right)\right)^{2} = 1 225\)

\(\begin{cases}x+5=35\\ x+5=-35\end{cases}\)

\(\begin{cases}x=30\\ x=-40\end{cases}\) (\(x = 30\) thỏa mãn.)

Vậy tốc độ của xe máy lúc về là \(30\) km/h.

a) ĐKXĐ : \(x \neq - 5\)

Ta có: \(\frac{x + 6}{x + 5} + \frac{3}{2} = 2\)

\(\frac{x + 6}{x + 5} = \frac{1}{2}\)

\(2 \left(\right. x + 6 \left.\right) = x + 5\)

\(2 x + 12 = x + 5\)

\(x = - 7\) ( T/M điều kiện)

Vậy phương trình đã cho có nghiệm \(x = - 7\).

b) \(\begin{cases}x+3y=-2\\ 5x+8y=11\end{cases}\)

\(\begin{cases}-5x-15y=10\\ 5x+8y=11\end{cases}\)

\(\begin{cases}-7y=21\\ 5x+8y=11\end{cases}\)

\(\begin{cases}y=-3\\ 5x+8.\left(\right.-3\left.\right)=11\end{cases}\)

\(\begin{cases}y=-3\\ x=7\end{cases}\)

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm \(\left(\right. x ; y \left.\right) = \left(\right. 7 ; - 3 \left.\right)\).

a) \(t > - 5\).

b) \(x \geq 16\).

c) Với \(y\) (đồng) là mức lương tối thiểu cho một giờ làm việc của người lao động, ta có bất đẳng thức \(y \geq 20 000\).

d)\(y\gt0\)

Vẽ \(A K ⊥ B C\) tại K, \(AH\bot DC\) tại \(H\).

Khi đó tứ giác \(A K C H\) là hình chữ nhật nên \(A K = C H\); \(A H = C K\)

Trong tam giác vuông \(A K B\) vuông tại \(K\) có \(A B = 10\) cm, \(\hat{A B K} = 7 0^{\circ}\) 

\(AK=AB.sin⁡70^{\circ}=10.sin⁡70^{\circ}\) suy ra \(AK=CH=10.sin⁡70^{\circ}\)

hay \(DH=CD-HC=15-10.sin⁡70^{\circ}\)

\(BK=AB.cos⁡70^{\circ}=10.cos⁡70^{\circ}\)

Suy ra \(CK=CB-BK=13-10.cos⁡70^{\circ}\)

hay \(AH=CK=13-10.cos⁡70^{\circ}\)

Theo định lí Pythagore trong tam giác vuông \(A D H\):

\(AD=\sqrt{A H^{2} + D H^{2}}=\sqrt{\left(\right.13-10.cos⁡70^{\circ}\left.\right)^2+\left(\right.15-10.sin⁡70^{\circ}\left.\right)^2}\approx11,1\) m.

a) \(\Delta C E F \sim \Delta C B A\) (g-g) suy ra  \(\frac{C F}{C E} = \frac{A C}{B C}\) nên

\(\Delta C F A \sim \Delta C E B\) (c-g-c) suy ra \(\frac{A F}{B E} = \frac{A C}{B C}\) hay \(\frac{A F}{B E} = cos ⁡ C\).

Vậy \(A F = B E . cos ⁡ C\).

b) Vì \(\Delta A B C\) có \(\hat{A} = 9 0^{\circ}\) nên  \(A B = sin ⁡ C . B C = 0 , 6.10 = 6\) cm.

Suy ra \(A C = 8\) cm nên \(A E = E C = 4\) cm.

Mà \(E F = sin ⁡ C . E C = 0 , 6.4 = 2 , 4\) cm.

Suy ra \(F C = 3 , 2\) cm (Định lí Pythagore)

\(S_{A B F E} \&\text{nbsp}; = S_{A B C} \&\text{nbsp}; - S_{C F E} \&\text{nbsp}; = \frac{1}{2} . \left(\right. A B . A C - E F . F C \left.\right) = \frac{1}{2} \left(\right. 6 \cdot 8 - 2 , 4 \cdot 3 , 2 \left.\right) = 20 , 16\) (cm\(^{2}\)).

gọi \(x\) ,\(y\) lần lượt là số tiền hai khoản đầu tư của bác Phương (triệu đồng) \(\left(x,y\gt0\right)\)

tổng số tiền bác đầu tư là 800 triệu đồng nên ta có phương trình : \(x+y=800\) (1)

lãi suất cho khoản đầu là \(6\%\)năm và khoản thứ hai là \(8\%\)năm nên ta có phương trình :

\(0,06x+0,08y=54\) (2)

từ (1) và (2) ta có hệ phương trình :

\(\begin{cases}x+y=800\\ 0,06x+0,08y=54\end{cases}\)

giải hpt ta được :

\(\begin{cases}x=500\\ y=300\end{cases}\) (thỏa mãn)

vậy khoản đầu tư đầu của bác là 500 triệu còn khoản thứ 2 là 300 triệu đồng

a) để giải phương trình trên ta có :

\(3x-2=0\) \(\left(1\right)\)

\(3x=2\)

\(x=\frac23\)

\(2x-1=0\)

\(2x=1\)

\(x=\frac12\)

vậy phương trình trên có hai nghiệm là \(x=\frac23,x=\frac12\)

b) \(\begin{cases}2x-y=4\\ x+2y=-3\end{cases}\)

\(\begin{cases}4x-2y=8\\ x+2y=-3\end{cases}\)

\(\begin{cases}5x=5\\ x+2y=-3\end{cases}\)

\(\begin{cases}x=1\\ 1+2y=-3\end{cases}\)

\(\begin{cases}x=1\\ 2y=-4\end{cases}\)

\(\begin{cases}x=1\\ y=-2\end{cases}\)

vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất \(\left(x,y\right)=\left(1,-2\right)\)

a) gọi số tuổi của bạn An là \(x\)

bất đẳng thức để mô tả bạn An ít nhất 18 tuổi mới được đi bầu cử đại biểu quốc hội là : \(x\) \(\ge\) 18

b) gọi khối lượng thang máy chở được là \(a\) (kg), a\(\) \(\gt\) 0

bất đẳng thức mô tả khối lượng một thang máy chở được là : 0 \(\lt\) \(a\le700\)

c) gọi tổng giá trị bạn phải mua hàng mới được giảm giá là \(b\) (triệu đồng) , \(b\) \(\gt\) 0

bất đẳng thức mô tả tổng giá trị bạn phải mua hagf mới được giảm giá là : \(b\ge1\)

d) \(2x-3\gt-7x+2\)