Ta có Ax vuông góc với AC và By//AC

Suy ra Ax vuông góc với By suy ra AMB = 90°

Xét ∆MAQ và ∆MBQ có

MQA=BMQ ( sole trong )

MQ chúng

AMQ= BQM

Suy ra ∆MAQ=∆MBO ( c.g.c)

Suy ra MAQ=MBQ ( 2 cạnh tương ứng )

Xét tứ giác AMBQ có QAM=AMB=MBQ=90°

Suy ra AMBQ là hình chữ nhật

b) Do tứ giác AMBQ là hình chữ nhật

Mà P là trung điểm của AB nên PQ= 1/2AB (1)

Xét ∆AIB vuông tại I và có IP là đường trung tuyến

Suy ra IP=1/2AB (2)

Từ (1) và (2) suy ra IP=PQ

Suy ra ∆PQI cân tại P

Xét ∆ABC có BM là đường trung tuyến ứng với cạnh AC mà BM = 1/2AC suy ra ∆ABC vuông tại B

Tứ giác ABCF có A=D=B=90°

Suy ra tứ giác ABCF là hình chữ nhật

Ta có IA=IC và IH=ID

Suy ra AHCD là hình bình hành do có 2 đường chéo AC và DH cắt nhau tại Trung điểm I

Mà ABC=90° suy ra AHCD là hình chữ nhật

ABCD là hình bình hành nên AD=BC,AD//BC

Do AD//BC nên ADB=CBD ( sole trong)

Xét ∆ADH=∆CBK có

AHD=CKB=90°

AD=BC (cmt)

ADH=CBK

=> ∆ADH=∆CBK ( cạnh huyền - góc nhọn )

Suy ra AH = CK ( 2 cạnh tương ứng )

Ta có AH vuông góc với BC và CK vuông góc với DB nên AH//CK

Tứ giác AHCK có AH=CK và AH//CK nên AHCK là hình bình hành

b) Đó AHCK là hình bình hành nên 2 đg chéo AC và HK cắt nhau tại Trung điểm mỗi đg

Mà I là trung điểm của HK nên I cũng là trung điểm của AC

Do ABCD là hình bình hành nên 2 đg chéo AC và BD cắt nhau tại Trung điểm mỗi đg

Mà I là trung điểm của AC nên I là trung điểm của BD hay IB=ID

a)ABCD là hình bình hành nên AD=BC và AD//BC

Mà E là trung điểm của AD nên AE=EF

F là trung điểm của BC nên BF=FC

Suy DE=BF

Xét tứ giác EBFC Có DE//BF (vì AD//BC và DE=BF suy ra nó là hình bình hành

b)Ta có O là giáo điểm của 2 đg chéo của hình bình hành ABCD nên là trung điểm của BD

Vì EBCF là hình bình hành nên 2 đg chéo BD và EF cắt nhau tại Trung điểm mỗi đg

Mà O là trung điểm của BD nên Ở cũng là trung điểm của EF

=> 3 điểm E,O,F thẳng hàng

a)ABCD là hình bình hành nên AD=BC và AD//BC

Mà E là trung điểm của AD nên AE=EF

F là trung điểm của BC nên BF=FC

Suy DE=BF

Xét tứ giác EBFC Có DE//BF (vì AD//BC và DE=BF suy ra nó là hình bình hành

b)Ta có O là giáo điểm của 2 đg chéo của hình bình hành ABCD nên là trung điểm của BD

Vì EBCF là hình bình hành nên 2 đg chéo BD và EF cắt nhau tại Trung điểm mỗi đg

Mà O là trung điểm của BD nên Ở cũng là trung điểm của EF

=> 3 điểm E,O,F thẳng hàng

Xét tam giác ABC có 2 đg trung tuyến BM và CN cắt nhau tại G (gt) nên G là trọng tâm của tam giác ABC

Suy ra GM= GB/2, GN= GC/2 ( tính chất trọng tâm của tam giác ) (1)

Mà P là trung điểm của GB ( gt) nên PG=PB=GB/2 (2)

Q là trung điểm của GC (gt) nên QH=QC=GC/2 (3)

Từ (1),(2),(3) ta đc GM=GP và GN=GQ

Xét tứ giác PQMN có GM=GP, GN=GQ (cmt)

Do đó PQMN là hình bình hành

Vì ABCD là hình bình hành

=> AB=CD, AB//CD

Mà 2 điểm B, Có lần lượt là trung điểm AE, DF

Suy ra AE=DF; AB=BE=CD=CF

Tứ giác AEFD có AE//DF(AB//CD); AE=DF(cmt)

=> AEFD là hình bình hành

Tứ giác ABCF có AB//CF(AB//CD); AB=CF(cmt)

=> ABCF là hình bình hành AF và DE

b) Vì hình bình hành AEFD có 2 đg chéo AF=EF nên 2 đg chéo đó cắt nhau tại Trung điểm mỗi đg, ta gọi đó là giáo điểm O

Hình bình hành AEFD có 2 đg chéo AF và BC

Mà O là trung điểm của AF

=> O cũng là trung điểm của BC

Vậy 3 đoạn thẳng AF, DE, BC

Hình bình hành ABCD có:

2 đg chéo cắt nhau tại t/điểm mỗi đg

=> OA=OC

Ta có: AB//CD nên AM//CN

=> Góc MAO = góc NCO

Xét ∆OAM và ∆OCN có;

- góc MAO = góc NCO(cmt)

- AC=CO(gt)

- O1=O2( 2 góc đối đỉnh )

=> ∆OAM= ∆OCN( g.c.g)

=> AM=CN

Ta có: AB= AM+MB, CD= CN+ND

Mà AB=CD=>BM=ND (1)

Lại có AB//CD=> BM=ND (2)

Từ (1) và (2) suy ra MBND là hình bình hành

a) Hình bình hành ABCD có: AB//CD, AB=CD, AD//BC, AD=BC

Ta có: E là trung điểm của AB, F là trung điểm của CD

Mà AB=CD => AE=DF

Lại có AB//CD=> AE//DF ( E thuộc AB, F thuộc CD)

Xét tứ giác AEFD có:

AE=DF, AE//DF

Suy ra AEFD là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết hình bình hành)

Ta có: AB=CD=>EB=FC

Lại có AB//CD=>EB//FC

Xét tứ giác EBCF có:

EB=CF, EB//CF

Suy ra EBCF là hình bình hành( dấu hiệu nhận biết hình bình hành)

Tổng kết: AEFD và EBCF đều là hình bình hành.

b) Vì AEFD là hình bình hành( cmt )

=> AD=EF

Ta có AE=1/2 AB, CF=1/2 CD mà AB=CD

=> AE= CF

Lại có AB//CD

=> AE//CF

Xét tứ giác AECF có:

AE=CF, AE//CF

Suy ra AECF là hình bình hành

=> AF=EC ( tính chất hình bình hành)