a. Xét hình bình hành ABCD có:

AD=BC,AB=DC( tính chất hình bình hành)

AD//DC ( tính chất hình bình hành)

Suy ra: Góc ADB=góc CBD( hai góc so le trong)

Xét tam giác AHD vuông tại H và tam giác CKB vuông tại K có :

AD=BC( chứng minh trên)

Góc ADB=góc CBD ( chứng minh trên)

Suy ra: tam giác AHD=tam giác CKB ( cạnh huyền - góc nhọn )

Do đó: AH=CK, HD=KB( hai cạnh tương ứng)

Xét tứ giác AHCK có:

AH=CK ( chứng minh trên)

=) tứ giác AHCK là hình bình hành (tính chất hình bình hành)

Vậy tứ giác AHCK là hình bình hành

b. Vì HK là đường thẳng nằm trong BD .

I là trung điểm của HK nên

IH=IK {1}

Mà HD=KB ( chứng minh trên) {2}

Từ {1} và {2} ta được:

IH + HD = IK + KB

Do đó: ID=IB

Vậy ID=IB

a. Xét hình bình hành ABCD có:

AD=BC,AB=DC( tính chất hình bình hành)

AD//DC ( tính chất hình bình hành)

Suy ra: Góc ADB=góc CBD( hai góc so le trong)

Xét tam giác AHD vuông tại H và tam giác CKB vuông tại K có :

AD=BC( chứng minh trên)

Góc ADB=góc CBD ( chứng minh trên)

Suy ra: tam giác AHD=tam giác CKB ( cạnh huyền - góc nhọn )

Do đó: AH=CK, HD=KB( hai cạnh tương ứng)

Xét tứ giác AHCK có:

AH=CK ( chứng minh trên)

=) tứ giác AHCK là hình bình hành (tính chất hình bình hành)

Vậy tứ giác AHCK là hình bình hành

b. Vì HK là đường thẳng nằm trong BD .

I là trung điểm của HK nên

IH=IK {1}

Mà HD=KB ( chứng minh trên) {2}

Từ {1} và {2} ta được:

IH + HD = IK + KB

Do đó: ID=IB

Vậy ID=IB

a. Xét hình bình hành ABCD có:

Vì O là trung điểm của AC và BD ( tính chất hình bình hành) nên:

OA=OC , OB=OD

AB//DC( tính chất hình bình hành)

Suy ra :góc MAO=góc NCO( hai góc so le trong)

Xét tam giác OAM và tam giác OCN có :

OA=OC ( chứng minh trên)

Góc MAO=góc NCO ( chứng minh trên)

Góc AOM=góc CON ( hai góc đối đỉnh)

Do đó: tam giác OAM= tam giác OCN ( g-c-g)

Vì tam giác OAM=tam giác OCN nên OM=ON(hai cạnh tương ứng)

Xét tam giác OND và tam giác OMB có :

OM=ON( chứng minh trên)

OB=OD(chứng minh trên)

Góc MOB=góc NOD(hai góc đối đỉnh)

Suy ra: tam giác OND=tam giác OMB ( c-g-c)

Do đó : ND=MB( hai cạnh tương ứng)

Xét tứ giác MBND có:

ND=MB ( chứng minh trên)

Suy ra: tứ giác MBND là hình bình hành

Vậy tứ giác MBND là hình bình hành .

a. Xét hình bình hành ABCD có:

AD=BC( tính chất hình bình hành)

Mà E và F lần lượt là trung điểm của AD và BC nên

EA=ED , FB=FC

Do đó: ED=FB=EA=FC

Xét tứ giác EBFD có :

ED=FB( chứng minh trên)

Suy ra: tứ giác EBFD là hình bình hành ( tính chất hình bình hành)

Vậy tứ giác EBFD là hình bình hành.

b. Xét tứ giác ABFE có :

AE=FB( chứng minh trên)

Suy ra: tứ giác ABFE là hình bình hành.

Do đó: AB//EF ( tính chất hình bình hành) (1)

Mà AB//EF nên góc BAO= gócAOE ( hai góc so le trong)

Suy ra: AB//OE (2)

Lại có : góc ABO= góc BOF ( hai góc so le trong)

Suy ra: AB//OF (3)

Từ (1),(2),(3) ta có:

OE,OF//AB

Do đó: E , O , F là ba điểm thẳng hàng.

Vậy E,O,F là ba điểm thẳng hàng.

Xét tam giác ABC có:

GC=2/3 CN ( tính chất đường trung tuyến)

Suy ra : GN = 1/3 CN = 1/2 GC

GB=2/3 BM ( tính chất đường trung tuyến)

Suy ra : GM=1/3 BM =1/2 GB

Mà P và Q lần lượt là trung điểm của CN và BM nên

PG=PB=1/2 GB

QG=QC=1/2 GC

Do đó: GN=GQ=1/2 CN

GM=GP=1/2 BM

Xét tam giác GMN và tam giác GPQ có :

GN=GQ ( chứng minh trên)

GM=GP ( chứng minh trên)

Góc MGN=góc PGQ ( hai góc đối đỉnh)

Suy ra : tam giác GMN= tam giác GPQ ( c-g-c)

Do đó: MN=PQ ( hai góc đối đỉnh)

Xét tứ giác PQMN có :

MN=PQ ( chứng minh trên)

=) tứ giác PQMN là hình bình hành

Vậy tứ giác PQMN là hình bình hành.

a. Xét hình bình hành ABCD có :

AB=DC(tính chất hình bình hành)

Vì B và C lần lượt là trung điểm của AE và DC nên

BA=BE , CD=CF

BA=BE=CD=CF

Mà AB+EB = AE

DC+FC=DF

Do đó : AE=DF

Xét tứ giác AEFD có :

AE=DF( chứng minh trên)

Suy ra tứ giác AEFD là hình bình hành.

Vậy tứ giác AEFD là hình bình hành

Xét tứ giác ABFC có :

AB=CF(Chứng minh trên)

Suy ra tứ giác ABFC là hình bình hành

Vậy tứ giác ABFC là hình bình hành.

b. Vì ABFD là hình bình hành nên AF và ED là hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của chúng ( tính chất hình bình hành {1}

Lại có : ABFD là hình bình hành nên AF và BC là hai đường chéo ắt nhau tại trung điểm của chúng (tính chất hình bình hành) {2}

Từ {1} và {2} ta được:

Các trung điểm của ba đoạn thẳng AF,DE,BC trùng nhau

Vậy Các trung điểm của ba đoạn thẳng AF,DE,BC trùng nhau.

a) Xét hình bình hành ABCD có:

AB=DC ( tính chất hình bình hành){1}

Mà E và F lần lượt là trung điểm của AB và DC nên

EA=EB, FD=FC{2}

Từ {1} và {2} ta có :

EA=FD , AE=FC

Xét tứ giác AEFD có :

EA=FD

Do đó : tứ giác AEFD là hình bình hành ( tính chất hình bình hành)

Xét tứ giác AEFD có:

AE=FC

Suy ra: tứ giác AEFD là hình bình hành.

Vậy tứ giác AEFD là hình bình hành, tứ giác AEFD là hình bình hành.

b) Xét hình bình hành AEFD có:

AD=EF( tính chất hình bình hành)

Xét hình bình hành AEFD có :

AF=EC(tính chất hình bình hành)

Vậy AD=EF, AF=EC