Xét ΔABC có AN/AB=AM/AC=1/2

nên NM//BC và NM=1/2BC(1)

Xét ΔGBC có GP/GB=GQ/GC=1/2

nên PQ//BC và PQ=BC/2(2)

Từ (1), (2) suy ra NM//PQ và NM=PQ

=>MNPQ là hình bình hành

a) Vì ABCD là hình bình hành nên AB = CD; AB // CD.

Mà hai điểm B, C lần lượt là trung điểm AE, DF.

Suy ra AE = DF; AB = BE = CD = CF.

Tứ giác AEFD có AE // DF (vì AB // CD); AE = DF (chứng minh trên).

Do đó tứ giác AEFD là hình bình hành.

Tứ giác ABFC có AB // CF (vì AB // CD); AB = CF (chứng minh trên).

Do đó tứ giác ABFC là hình bình hành.

b) Vì hình bình hành AEFD có hai đường chéo AF và DE nên chúng cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường, ta gọi giao điểm đó là O.

Hình bình hành AEFD có hai đường chéo AF và BC.

Mà O là trung điểm của AF.

Suy ra O cũng là trung điểm của BC.

Vậy các trung điểm của ba đoạn thẳng AF, DE, BC trùng nhau.

Vì \(A B C D\) là hình bình hành, nên:

• \(A C\) và \(B D\) là 2 đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.
• → \(O\) là trung điểm của cả \(A C\) và \(B D\).
   ⇒ \(O A = O C\) (1)
  Xét hai tam giác \(O A M\) và \(O C N\)
• Đường thẳng qua \(O\) cắt \(A B\) tại \(M\), cắt \(C D\) tại \(N\)
• Vì \(O\) chung:
• • Góc \(A O M =\) góc \(C O N\) (2 góc đối đỉnh) (2)
• Đã có:
• • \(O A = O C\) (từ bước 1) (1)
  • Góc \(A O M = C O N\) (2)
  • \(O M\) = \(O N\) (cùng nằm trên đường thẳng cắt qua O) (3)suy ra:

  \(suyra\triangle OAM=\triangle OCN\left(cgc\right)\)
  Vì 2 tam giác bằng nhau:

  • → Góc \(A M O = C N O\)
  • → \(A M = C N\)

  Trong hình bình hành gốc:

  • \(A B / / D C\)
  • M nằm trên \(A B\), N nằm trên \(C D\)

  Mà \(A M = C N\)
  → Hai đoạn thẳng \(M B\) và \(N D\) song song và bằng nhau
  → \(M B / / N D\), \(M B = N D\)
  Tứ giác \(M B N D\) có:

  • Hai cạnh đối song song và bằng nhau
  • → \(M B N D\) là hình bình hành.
    vậy
  • \(\triangle O A M = \triangle O C N\)
  • ⇒ Tứ giác \(M B N D\) là hình bình hành.

  
  

a) Vì ABCD là hình bình hành nên AB = CD, AB // CD.

Mà E, F lần lượt là trung điểm của AB, CD nên AE = BE, CF = DF.

Do đó AE = BE = CF = DF.

• Xét tứ giác AEFD có:

AE // DF (vì AB // CD);

AE = DF (chứng minh trên)

Do đó tứ giác AEFD là hình bình hành.

• Xét tứ giác AECF có:

AE // CF (vì AB // CD);

AE = CF (chứng minh trên)

Do đó tứ giác AECF là hình bình hành.

Vậy hai tứ giác AEFD, AECF là những hình bình hành.

b) Vì tứ giác AEFD là hình bình hành nên EF = AD.

Vì tứ giác AECF là hình bình hành nên AF = EC.

Vậy EF = AD, AF = EC.