a) Do \(A B C D\) là hình bình hành nên \(A D\) // \(B C\) và \(A D = B C\) ( Hai cạnh đối của hình bình hành)

Do \(A D\) // \(B C\) nên \(\hat{A D B}=\hat{C B D}\) (Hai góc so le trong) hay \(\hat{A D H}=\hat{C B K}\) \(\)

Xét \(\Delta A D H\) và \(\Delta C B K\) có:

     \(\hat{A H D}=\hat{C K B}=90^{\circ}\);

     \(A D = B C\) (chứng minh trên);

     \(\hat{A D H}=\hat{C B K}\) (chứng minh trên).

Do đó \(\Delta ADH=\Delta CBK\) (cạnh huyền – góc nhọn).

Suy ra \(A H = C K\) (hai cạnh tương ứng).

Ta có \(AH\bot DB\) 

 \(CK\bot DB\) 

Do đó \(A H\) // \(C K\).

Xét tứ giác \(A H C K\) ta có:

\(A H\) // \(C K\) (chứng minh trên)

\(A H = C K\) (chứng minh trên)

Suy ra \(A H C K\) là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết). Điều phải chứng minh

b) Vì \(A H C K\) là hình bình hành (theo phần a) nên hai đường chéo \(A C\) và \(H K\) cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

Mà \(I\) là trung điểm của \(H K\) (giả thiết)

Suy ra \(I\) là trung điểm của \(A C\).

Vì \(A B C D\) là hình bình hành nên hai đường chéo \(A C\) và \(B D\) cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

Mà \(I\) là trung điểm của \(A C\) nên \(I\) là trung điểm của \(B D\), hay \(I B = I D\) (Điều phải chứng minh)

a) Ta có: AD = BC (Vì ABCD là hình bình hành)

AD // BC (Vì ABCD là hình bình hành)

Hay DE // BF

Mà E là trung điểm của AD nên AE = ED=\(\frac12AD\)

F là trung điểm của BC nên BF = FC =\(\frac12BC\)

Suy ra DE = BF.

Xét tứ giác EBFD ta có

DE // BF (Chứng minh trên)

DE = BF (Chứng minh trên)

Suy ra EBFD là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết). Điều phải chứng minh

b) Ta có: O là giao điểm của hai đường chéo của hình bình hành ABCD

Do đó O là trung điểm của BD.

Hai đường chéo BD và EF cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường (Vì EBFD là hình bình hành)

Mà O là trung điểm của BD nên O là trung điểm của EF.

Vậy ba điểm E, O, F thẳng hàng. Điều phải chứng minh

Xét tam giác \(A B C\) ta có:

Vì hai đường trung tuyến \(B M\) và \(C N\) cắt nhau tại \(G\) (giả thiết)

nên \(G\) là trọng tâm của \(\Delta A B C\).

Suy ra \(G M = \frac{G B}{2}\); \(G N = \frac{G C}{2}\) (tính chất trọng tâm của tam giác) (1)

Mà \(P\) là trung điểm của \(G B\) (giả thiết) nên \(G P = P B = \frac{G B}{2}\) (2)

\(Q\) là trung điểm của \(G C\) (giả thiết) nên \(G Q = Q C = \frac{G C}{2}\) (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra \(G M = G P\) và \(G N = G Q\).

Xét tứ giác \(P Q M N\) ta có: 

\(G M = G P\) 

 \(G N = G Q\) (chứng minh trên)

Suy ra tứ giác \(P Q M N\) có hai đường chéo \(M P\) và \(N Q\) cắt nhau tại trung điểm \(G\) của mỗi đường

Do đó tứ giác \(PQMN\) là hình bình hành. (Điều phải chứng minh)

a) Vì ABCD là hình bình hành nên AB = CD; AB // CD.

Mà hai điểm B, C lần lượt là trung điểm AE, DF.

Suy ra AE = DF; AB = BE = CD = CF.

Tứ giác AEFD có AE // DF (vì AB // CD); AE = DF (chứng minh trên).

Do đó tứ giác AEFD là hình bình hành.

Xét tứ giác ABFC có

AB // CF (vì AB // CD);

AB = CF (chứng minh trên).

Suy ra: tứ giác ABFC là hình bình hành.(điều phải chứng minh)

b) ta gọi giao điểm hai đường chéo AF và DE của hình bình hành AEFD là M.

Hình bình hành AEFD có hai đường chéo AF và BC.

Mà M là trung điểm của AF.

Suy ra M cũng là trung điểm của BC.

Vậy các trung điểm của ba đoạn thẳng AF, DE, BC trùng nhau.

Vì \(A B C D\) là hình bình hành nên ta có:

+ Hai đường chéo \(A C\) và \(B D\) cắt nhau tại \(O\) nên \(O A = O C\), \(O B = O D\).

+ \(A B\) // \(C D\) nên \(A M\) // \(C N\) suy ra \(\hat{O A M} = \hat{O C N}\) (hai góc so le trong).

Xét \(\Delta O A M\) và \(\Delta OCN\) có:

         \(\hat{O A M} = \hat{O C N}\) (chứng minh trên)

        \(O A = O C\) (chứng minh trên)

        \(\hat{A O M}=\)\(\hat{CON}\)  (hai góc đối đỉnh)

Do đó \(\Delta OAM=\Delta OCN\) (g.c.g).

Suy ra \(A M = C N\) (hai cạnh tương ứng).

Mặt khác, \(A B = C D\) (chứng minh trên)

Mà \(A B = A M + B M\); \(C D = C N + D N\).

Suy ra \(B M = D N\).

Xét tứ giác \(M B N D\) có:

        \(B M\) // \(D N\) (vì \(A B\) // \(C D\))

        \(B M = D N\) (chứng minh trên)

Suy ra tứ giác \(M B N D\) là hình bình hành.  

a) Vì ABCD là hình bình hành nên ta có

AB = CD

AB // CD

hay AE // DF

 AE // CF

Ta có : AE = BE = \(\frac{1}{2}\)AB ( Vì E là trung điểm của AB)

CF = DF = \(\frac{1}{2}\)CD ( Vì F là trung điểm của CD )

Suy ra : AE = BE = CF = DF.

Xét tứ giác AEFD có:

     AE // DF (chứng minh trên);

     AE = DF (chứng minh trên)

Do đó tứ giác AEFD là hình bình hành.

Xét tứ giác AECF có:

     AE // CF (chứng minh trên)

     AE = CF (chứng minh trên)

Do đó tứ giác AECF là hình bình hành.

Vậy hai tứ giác AEFD, AECF là những hình bình hành. (điều phải chứng minh)

b) EF = AD (Vì tứ giác AEFD là hình bình hành)

AF = EC (Vì tứ giác AECF là hình bình hành)

Vậy EF = AD, AF = EC.(điều phải chứng minh)