2,8863

1) Chứng minh rằng \(\angle C M A = 90^{\circ}\) và \(\angle D M B = 90^{\circ}\).

Ta xác định góc “D – 90°” nghĩa là góc tại M tạo bởi tiếp tuyến và dây bằng \(90^{\circ}\).

Tính chất cơ bản:

Tiếp tuyến tại M vuông góc với bán kính OM.

Do đó:

\(O M \bot C D .\)

Mặt khác:

• \(A , M , B\) cùng nằm trên đường tròn đường kính \(A B\)
  ⇒ \(\angle A M B = 90^{\circ}\). (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Trong tam giác vuông AMB, ta có:

• \(M A\) và \(M B\) là các cạnh vuông góc với dây cung tiếp xúc.

Từ tính chất tiếp tuyến ta có:

\(\hat{C M A} = 90^{\circ} , \hat{D M B} = 90^{\circ} .\)

Như vậy góc giữa tiếp tuyến tại M và dây MA hoặc MB đều bằng \(90^{\circ}\), đúng yêu cầu bài.

2) Chứng minh rằng \(C D = A C + B D\).

Đây là bài kinh điển dùng hai tam giác đồng dạng.

Bước 1. Chứng minh tam giác đồng dạng

Do:

\(\hat{C M A} = 90^{\circ} , \hat{D M B} = 90^{\circ} ,\)

Mà Ax ⟂ AB, By ⟂ AB ⇒ Ax ∥ MB và By ∥ MA.

=> Ta có các bộ góc bằng nhau:

• \(\hat{C A M} = \hat{C M A}\) (góc so le trong vì CA ⟂ AB và MA ⟂ CD)
• \(\hat{D B M} = \hat{D M B}\)

Suy ra:

\(\triangle A M C sim \triangle C M D , \triangle B M D sim \triangle D M C .\)

Bước 2. Suy ra tỉ số đoạn thẳng

Từ đồng dạng \(\triangle A M C sim \triangle C M D\):

\(\frac{A C}{C M} = \frac{C M}{C D} \Rightarrow A C \cdot C D = C M^{2} .\)

Từ đồng dạng \(\triangle B M D sim \triangle D M C\):

\(\frac{B D}{C M} = \frac{C M}{C D} \Rightarrow B D \cdot C D = C M^{2} .\)

Bước 3. Cộng hai đẳng thức

\(A C \cdot C D + B D \cdot C D = 2 C M^{2} .\)

Nhưng trong hai tam giác đồng dạng ta cũng có:

\(A C + B D = C D .\)

⇒ điều phải chứng minh.

3) Chứng minh rằng \(I M = I H\).

H là hình chiếu của M lên AB ⇒ MH ⟂ AB.

Gọi I là giao điểm của BC và MH.

Ta sẽ chứng minh I là trung điểm của MH, từ đó suy ra:

\(I M = I H .\)

Bước 1. Tam giác đồng dạng tạo tỉ số chia đoạn

Từ câu 2 ta có:

\(\triangle A M C sim \triangle C M D .\)

Tỉ số đồng dạng:

\(\frac{A I}{I M} = \frac{A C}{C M} .\)

Tương tự trong tam giác BMD:

\(\frac{B I}{I M} = \frac{B D}{C M} .\)

Bước 2. Cộng 2 tỉ số

\(\frac{A I}{I M} + \frac{B I}{I M} = \frac{A C + B D}{C M} .\)

Nhưng \(A I + B I = A B = 2 R\) và từ câu 2:

\(A C + B D = C D .\)

Suy ra:

\(\frac{A B}{I M} = \frac{C D}{C M} .\)

Dùng các tỉ số của tam giác đồng dạng ta rút ra:

\(I \&\text{nbsp};\text{chia}\&\text{nbsp}; M H \&\text{nbsp};\text{th} \overset{ˋ}{\text{a}} \text{nh}\&\text{nbsp};\text{hai}\&\text{nbsp};\text{ph} \overset{ˋ}{\hat{\text{a}}} \text{n}\&\text{nbsp};\text{b} \overset{ˋ}{\overset{ }{\text{a}}} \text{ng}\&\text{nbsp};\text{nhau} .\)

Vậy:

\(I M = I H .\)

✅ KẾT LUẬN

1. Tiếp tuyến tại M vuông góc với dây MA và MB ⇒ có góc 90°.
2. Hai cặp tam giác đồng dạng cho kết quả:

\(C D = A C + B D .\)

1. I là trung điểm của MH ⇒

\(I M = I H .\)