Cho phương trình

\(x^{2} - 4 x + m - 1 = 0.\)

Ta có \(a = 1 , \textrm{ }\textrm{ } b = - 4 , \textrm{ }\textrm{ } c = m - 1.\)

\(\Delta = b^{2} - 4 a c = \left(\right. - 4 \left.\right)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot \left(\right. m - 1 \left.\right) = 16 - 4 m + 4 = 20 - 4 m .\)

Để phương trình có hai nghiệm thì

\(\Delta \geq 0 \Rightarrow 20 - 4 m \geq 0 \Rightarrow m \leq 5.\)

Theo định lý Viète ta có

\(x_1+x_2=4,x_1x_2=m-1.\)

Ta có

\(x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = \left(\right. x_{1} + x_{2} \left.\right)^{2} - 2 x_{1} x_{2} .\)

Theo đề bài:

\(14 = 4^{2} - 2 \left(\right. m - 1 \left.\right) = 16 - 2 m + 2 = 18 - 2 m .\) \(2 m = 4 \Rightarrow m = 2.\)\(\)

Vậy \(m=2làgiátrịcầntìm\)

Phương trình:

\(2 x^{2} + 4 x + m = 0\)

Ta có:

\(a = 2 , b = 4 , c = m\)

\(\Delta = b^{2} - 4 a c\) \(\Delta = 4^{2} - 4 \cdot 2 \cdot m = 16 - 8 m\)

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì

\(\Delta > 0\)
\(16 - 8 m > 0\)
16 > 8m
m < 2 \(\)

Theo định lí Viète ta có

\(x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a} = - \frac{4}{2} = - 2\)
\(x_{1} x_{2} = \frac{c}{a} = \frac{m}{2}\)

Theo đề bài ta có:

\(x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = 10\)

Ta có công thức:

\(x_1^2+x_2^2=\left(\right.x_1+x_2\left.\right)^2-2x_1x_2\left(1\right)\)

Thay vào (1), được:

\(10 = \left(\right. - 2 \left.\right)^{2} - 2 \cdot \frac{m}{2}\)
\(10 = 4 - m\)
\(m=-6\left(\th m\right)\)

Vậy m=-6 là giá trị cần tìm

\(\)