Phương trình \(�^{2} - 2 � + � - 1 = 0\) có \(\Delta^{'} = 1 - � + 1 = 2 - �\).

Phương trình đã cho có nghiệm khi \(\Delta^{'} \geq 0\)

\(2 - � \geq 0\)

\(� \leq 2\)

Khi đó theo định li Viète ta có: \(�_{1} + �_{2} = 2 ; �_{1} �_{2} = � - 1\)

Do \(�_{1} ; �_{2}\) là nghiệm của phương trình \(�^{2} - 2 � + � - 1 = 0\) nên ta có:

\(\left{\right. �_{1}^{2} = 2 �_{1} - � + 1 \\ �_{2}^{2} = 2 �_{2} - � + 1\)

Theo bài ra ta có:

\(�_{1}^{4} - �_{1}^{3} = �_{2}^{4} - �_{2}^{3}\)

\(�_{1}^{4} - �_{2}^{4} - \left(\right. �_{1}^{3} - �_{2}^{3} \left.\right) = 0\)

\(\left(\right. �_{1}^{2} + �_{2}^{2} \left.\right) \left(\right. �_{1}^{2} - �_{2}^{2} \left.\right) - \left(\right. �_{1} - �_{2} \left.\right) \left(\right. �_{1}^{2} + �_{1} �_{2} + �_{2}^{2} \left.\right) = 0\)

\(\left(\right. 2 \left(\right. �_{1} + �_{2} \left.\right) - 2 � + 2 \left.\right) \left(\right. 2 �_{1} - � + 1 - 2 �_{2} + � - 1 \left.\right) - \left(\right. �_{1} - �_{2} \left.\right) \left[\right. 2 \left(\right. �_{1} + �_{2} \left.\right) - 2 � + 2 + � - 1 \left]\right. = 0\)

\(\left(\right. 2.2 - 2 � + 2 \left.\right) . 2 \left(\right. �_{1} - �_{2} \left.\right) - \left(\right. �_{1} - �_{2} \left.\right) \left(\right. 2.2 - � + 1 \left.\right) = 0\)

\(\left(\right. �_{1} - �_{2} \left.\right) \left(\right. 2 \left(\right. 6 - 2 � \left.\right) - 5 + � \left.\right) = 0\)

\(\left(\right. �_{1} - �_{2} \left.\right) \left(\right. 3 � + 7 \left.\right) = 0\)

\(�_{1} = �_{2}\); \(� = \frac{7}{3}\) (ktm)

Thay \(�_{1} = �_{2}\) vào (1) ta được:

\(\left{\right. 2 �_{1} = 2 \\ �_{1}^{2} = � - 1\)

\(\left{\right. �_{1} = 1 \\ � = 2 \left(\right. � � \left.\right)\)

Vậy \(� = 2\).

Phương trình \(�^{2} - 2 � + � - 1 = 0\) có \(\Delta^{'} = 1 - � + 1 = 2 - �\).

Phương trình đã cho có nghiệm khi \(\Delta^{'} \geq 0\)

\(2 - � \geq 0\)

\(� \leq 2\)

Khi đó theo định li Viète ta có: \(�_{1} + �_{2} = 2 ; �_{1} �_{2} = � - 1\)

Do \(�_{1} ; �_{2}\) là nghiệm của phương trình \(�^{2} - 2 � + � - 1 = 0\) nên ta có:

\(\left{\right. �_{1}^{2} = 2 �_{1} - � + 1 \\ �_{2}^{2} = 2 �_{2} - � + 1\)

Theo bài ra ta có:

\(�_{1}^{4} - �_{1}^{3} = �_{2}^{4} - �_{2}^{3}\)

\(�_{1}^{4} - �_{2}^{4} - \left(\right. �_{1}^{3} - �_{2}^{3} \left.\right) = 0\)

\(\left(\right. �_{1}^{2} + �_{2}^{2} \left.\right) \left(\right. �_{1}^{2} - �_{2}^{2} \left.\right) - \left(\right. �_{1} - �_{2} \left.\right) \left(\right. �_{1}^{2} + �_{1} �_{2} + �_{2}^{2} \left.\right) = 0\)

\(\left(\right. 2 \left(\right. �_{1} + �_{2} \left.\right) - 2 � + 2 \left.\right) \left(\right. 2 �_{1} - � + 1 - 2 �_{2} + � - 1 \left.\right) - \left(\right. �_{1} - �_{2} \left.\right) \left[\right. 2 \left(\right. �_{1} + �_{2} \left.\right) - 2 � + 2 + � - 1 \left]\right. = 0\)

\(\left(\right. 2.2 - 2 � + 2 \left.\right) . 2 \left(\right. �_{1} - �_{2} \left.\right) - \left(\right. �_{1} - �_{2} \left.\right) \left(\right. 2.2 - � + 1 \left.\right) = 0\)

\(\left(\right. �_{1} - �_{2} \left.\right) \left(\right. 2 \left(\right. 6 - 2 � \left.\right) - 5 + � \left.\right) = 0\)

\(\left(\right. �_{1} - �_{2} \left.\right) \left(\right. 3 � + 7 \left.\right) = 0\)

\(�_{1} = �_{2}\); \(� = \frac{7}{3}\) (ktm)

Thay \(�_{1} = �_{2}\) vào (1) ta được:

\(\left{\right. 2 �_{1} = 2 \\ �_{1}^{2} = � - 1\)

\(\left{\right. �_{1} = 1 \\ � = 2 \left(\right. � � \left.\right)\)

Vậy \(� = 2\).

Ta có: \(\Delta^{'} = 2^{2} - \left(\right. � - 1 \left.\right) = 5 - �\)

Để phương trình có hai nghiệm \(�_{1} ; �_{2}\) thì \(\Delta^{'} \geq 0\) hay \(� \leq 5\)

Áp dụng định lí Viète ta có: \(�_{1} + �_{2} = 4 ; �_{1} �_{2} = � - 1\)

Theo bài ta ta có:

\(�_{1}^{2} + �_{2}^{2} = 14\)

\(\left(\right. �_{1} + �_{2} \left.\right)^{2} - 2 �_{1} �_{2} = 14\)

\(4^{2} - 2 \left(\right. � - 1 \left.\right) = 14\)

\(� = 2\) (thỏa mãn điều kiện)

Vậy với \(� = 2\) thì phương trình \(�^{2} - 4 � + � - 1 = 0\) có hai nghiệm \(�_{1} ; �_{2}\) thỏa mãn \(�_{1}^{2} + �_{2}^{2} = 14\).

Ta có: \(\Delta^{'} = 2^{2} - \left(\right. � - 1 \left.\right) = 5 - �\)

Để phương trình có hai nghiệm \(�_{1} ; �_{2}\) thì \(\Delta^{'} \geq 0\) hay \(� \leq 5\)

Áp dụng định lí Viète ta có: \(�_{1} + �_{2} = 4 ; �_{1} �_{2} = � - 1\)

Theo bài ta ta có:

\(�_{1}^{2} + �_{2}^{2} = 14\)

\(\left(\right. �_{1} + �_{2} \left.\right)^{2} - 2 �_{1} �_{2} = 14\)

\(4^{2} - 2 \left(\right. � - 1 \left.\right) = 14\)

\(� = 2\) (thỏa mãn điều kiện)

Vậy với \(� = 2\) thì phương trình \(�^{2} - 4 � + � - 1 = 0\) có hai nghiệm \(�_{1} ; �_{2}\) thỏa mãn \(�_{1}^{2} + �_{2}^{2} = 14\).

Ta có: \(\Delta^{'} = 2^{2} - \left(\right. � - 1 \left.\right) = 5 - �\)

Để phương trình có hai nghiệm \(�_{1} ; �_{2}\) thì \(\Delta^{'} \geq 0\) hay \(� \leq 5\)

Áp dụng định lí Viète ta có: \(�_{1} + �_{2} = 4 ; �_{1} �_{2} = � - 1\)

Theo bài ta ta có:

\(�_{1}^{2} + �_{2}^{2} = 14\)

\(\left(\right. �_{1} + �_{2} \left.\right)^{2} - 2 �_{1} �_{2} = 14\)

\(4^{2} - 2 \left(\right. � - 1 \left.\right) = 14\)

\(� = 2\) (thỏa mãn điều kiện)

Vậy với \(� = 2\) thì phương trình \(�^{2} - 4 � + � - 1 = 0\) có hai nghiệm \(�_{1} ; �_{2}\) thỏa mãn \(�_{1}^{2} + �_{2}^{2} = 14\).

Ta có: \(\Delta^{'} = 2^{2} - \left(\right. � - 1 \left.\right) = 5 - �\)

Để phương trình có hai nghiệm \(�_{1} ; �_{2}\) thì \(\Delta^{'} \geq 0\) hay \(� \leq 5\)

Áp dụng định lí Viète ta có: \(�_{1} + �_{2} = 4 ; �_{1} �_{2} = � - 1\)

Theo bài ta ta có:

\(�_{1}^{2} + �_{2}^{2} = 14\)

\(\left(\right. �_{1} + �_{2} \left.\right)^{2} - 2 �_{1} �_{2} = 14\)

\(4^{2} - 2 \left(\right. � - 1 \left.\right) = 14\)

\(� = 2\) (thỏa mãn điều kiện)

Vậy với \(� = 2\) thì phương trình \(�^{2} - 4 � + � - 1 = 0\) có hai nghiệm \(�_{1} ; �_{2}\) thỏa mãn \(�_{1}^{2} + �_{2}^{2} = 14\).

Ta có: \(\Delta^{'} = 2^{2} - \left(\right. � - 1 \left.\right) = 5 - �\)

Để phương trình có hai nghiệm \(�_{1} ; �_{2}\) thì \(\Delta^{'} \geq 0\) hay \(� \leq 5\)

Áp dụng định lí Viète ta có: \(�_{1} + �_{2} = 4 ; �_{1} �_{2} = � - 1\)

Theo bài ta ta có:

\(�_{1}^{2} + �_{2}^{2} = 14\)

\(\left(\right. �_{1} + �_{2} \left.\right)^{2} - 2 �_{1} �_{2} = 14\)

\(4^{2} - 2 \left(\right. � - 1 \left.\right) = 14\)

\(� = 2\) (thỏa mãn điều kiện)

Vậy với \(� = 2\) thì phương trình \(�^{2} - 4 � + � - 1 = 0\) có hai nghiệm \(�_{1} ; �_{2}\) thỏa mãn \(�_{1}^{2} + �_{2}^{2} = 14\).

Ta có: \(2 �^{2} + 4 � + � = 0\) (*)

\(\Delta^{'} = 2^{2} - 2. � = 4 - 2 �\)

Phương trình (*) có hai nghiệm \(�_{1} ; �_{2}\) khi \(\Delta^{'} \geq 0\)

\(4 - 2 � \geq 0\)

\(� \leq 2\)

Với \(� \leq 2\) thì phương trình (*) có hai nghiệm \(�_{1} ; �_{2}\), theo hệ thức Viète:

\(�_{1} + �_{2} = \frac{- 4}{2} = - 2 ;\) \(�_{1} . �_{2} = \frac{�}{2}\)

Khi đó \(�_{1}^{2} + �_{2}^{2} = 10\) trở thành

\(\left(\right. �_{1} + �_{2} \left.\right)^{2} - 2 �_{1} �_{2} = 10\)

\(\left(\right. - 2 \left.\right)^{2} - 2. \frac{�}{2} = 10\)

\(4 - � = 10\)

\(� = - 6\) (thỏa mãn).\(\)