a) +)Do tứ giác ABCD là hình bình hành nên AD // BC và AD = BC

+) Mà AD // BC nên góc ADB = góc CBD (so le trong)

+) Xét tam giác ADH và tam giác CBK có :

Góc AHD = góc CLB = 90 độ

AD = BC (chứng minh trên)

Góc ADH = góc CBK ( do góc ADB = góc CBD )

Do đó tam giác ADH = tam giác CBK (cạnh huyền - góc nhọn)

+) Suy ra AH = CK (hai cạnh tương ứng)

+) Ta có AH vuông góc DB và CK vuông góc DB lên AH // CK

+) Tứ giác AHCK có AH // CK và AH = CK nên tứ giác AHCK là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết)

Vậy tứ giác AHCK là hình bình hành

b) +) Do tứ giác AHCK là hình bình hành ở( câu a) nên hai đường chéo AC và HK cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường

+) Mà I là trung điểm của HK (giả thiết) nên I là trung điểm của AC

+) Do tứ giác ABCD là hình bình hành nên hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường

+) Mà I là trung điểm của AC nên I là trung điểm của BD , hay IB = ID

Vậy IB = ID

a)+) Tứ giác ABCD là hình bình hành nên AD = BC và AD // BC

+) Mà E là trung điểm của AD nên AE = ED

F là trung điểm của BC nên BF = FC

+) suy ra DE = BF

+) xét tứ giác EBFD có :

DE // BF (do AD // BD )

DE = BF

Do đó tứ giác EBFD là hình bình hành ( dấu hiệu nhận biết)

Vậy tứ giác EBFD là hình bình hành

b) +) Ta có O là trung điểm của hai đường chéo của hình bình hành ABCD nên O là trung điểm của BD

+) Do EBFD là hình bình hành nên hai đường chéo BD và EF cắt nhau tại trung điểm của mỗi đoạn

+) Mà O là trung điểm của BD nên O là trung điểm của EF

Vậy ba điểm E, O ,F thẳng hàng

+) Xét tam giác ABC có hai đường trung tuyến BM và CN cắt nhau tại G ( giả thiết ) nên G là trọng tâm của tam giác ABC

+) Suy ra GM = GB/2 ; GN = GV/2 ( tính chất trọng tâm cảu tam giác ) (1)

+)Mà P là trung điểm của GB ( giả thiết) nên GP = PB = GB /2 ( 2)

Q là trung điểm của FC ( giả thiết) nên GQ = QC =GB / 2 (3)

+) Từ (1),(2) và (3) suy ra GM = GP và GN = GQ

+) Xét tứ giác PQMN có :

GM = GP ( chứng minh trên)

GN = GQ ( chứng minh trên)

Do đó tứ giác PQMN có hai đường chéo MP và NQ cắt nhau tại trung điểm G của mỗi đường nên là hình bình hành

Vậy tứ giác PQMN là hình bình hành

a) +)Vì ABCD là hình bình hành nên AB = CD ; AB = CD .

+) Mà hai điểm B , C lần lượt là trung điểm AF , DF

+) Suy ra :AE = DF ; AB = BE = CD = CF

Tứ giác AECF có AE // DF ( vì AB // CD ) ; AE = DF ( chứng minh trên)

Do đó tứ giác AECF là hình bình hành .

Tứ giác ABFC có AB // CD ( vì AB // CD ) ; AB = CF ( chứng minh trên)

Do đó tứ giác ABFC là hình bình hành

Vậy tứ giác ABFC là hình bình hành

b ) +) Vì hình bình hành AEFD có hai đường chéo AF và DE nên chúng cắt nhau tại trung điểm của một đường , ta gọi giáo điểm đó là O.

+) Mà O là trung điểm của AF .

Suy ra Ở cũng là trung điểm của BC

Vậy các trung điểm của bà đoạn thẳng AF , DE , BC trùng nhau

* Vì tứ giác ABCD là hình bình hành nên ta có :

+) Hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại Ở miền OA = OC , OB = OD .

+) AB // CD nên AM // CN , suy ra góc OAM = góc OCN ( hai góc so le trong) .

* Xét tam giác OAM và tâm giác OCN có :

Góc OAM = góc OCN ( chứng minh trên )

OA = OC ( chứng minh trên)

Góc AOM = góc CON ( hai góc đối đỉnh)

Do đó tâm giác OAM = tâm giác OAC ( g.c.g )

*Suy ra AM = CN ( hai cạnh tương ứng )
* Mặt khác , AB = CD ( chứng minh trên ) ;

AB = AM + BM ; CD = CN + DN

*Suy ra BM = DN

* Xét tứ giác MBND có :

BM // DN ( vì AB // CD )

BM = DN ( chứng minh trên)

Do đó , tứ giác MBND là hình bình hành

Vậy tứ giác MBND là hình bình hành

a) +)Vì tứ giác ABCD là hình bình hành nên AB = CD , AB//CD.

+) Mà E , F lần lượt là trung điểm của AB , CD nên AE = BE = 1/2 AB , CF = DF = 1/2 CD .

+) Do đó : AE = BE = CF = DF.

+) Xét tứ giác AEFD có :

AE // DF ( vì AB // CD )

AE = DF ( chứng minh trên)

Do đó tứ giác AEFD là hình bình hành

+) Xét tứ giác AECF có :

AE // CF ( vì AB // CF )

AE = CF ( chứng minh trên )

Do đó tứ giác AECF là hình bình hành

Vậy hai tứ giác AECF , AECF là hình bình hành

b) +) Vì tứ giác AECF là hình bình hành nên EF = AD .

+) vì tứ giác AECF là hình bình hành nên AF = EC

Vậy EF = AD , AF = EC