Xét tam giác ABG có

N a = NC PB = PG suy ra BN là đường trung bình của tam giác ABG

Suy ra PN = 1/2 AG (1)

PN// AG(2)

Xét tam giác ACG có

MA = MC ,QC = QG suy ra QN là đường trung bình của tam giác ACG

Suy ra QM = 1/2 AG(3)

QM// AG(4)

Từ (2 )và (4 )suy ra PN // QM

Từ (1 )và (3 )suy ra PN bằng QM = 1/2 AG

Vậy PQMN là hình bình hành

Xét tam giác ABG có

N a = NC PB = PG suy ra BN là đường trung bình của tam giác ABG

Suy ra PN = 1/2 AG (1)

PN// AG(2)

Xét tam giác ACG có

MA = MC ,QC = QG suy ra QN là đường trung bình của tam giác ACG

Suy ra QM = 1/2 AG(3)

QM// AG(4)

Từ (2 )và (4 )suy ra PN // QM

Từ (1 )và (3 )suy ra PN bằng QM = 1/2 AG

Vậy PQMN là hình bình hành

a) Vì ABCD là hình bình hành nên AB = CD AB // CD

Mà hai điểm B,Clần lượt là trung điểm AE và DF

Suy ra AE = DF, AB = BE = CD = CF

Tứ giác AEFD có AE song song DF (vì AB // CD), AE = DF (chứng minh tr​ên)

Do đó tứ giác AEFD là hình bình hành

Tứ giác ABFC có AB// CF vì ( AB // CD) AB = CF( chứng minh trên)

Do đó tứ giác ABFC là hình bình hành

b) Vì hình bình hành AEFD có hai đường chéo AF và DE nhưng chúng cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường ta gọi giao điểm đó là O

Hình bình hành AEFD có hai đường chéo AF và BC

Mà O là trung điểm của AF

Suy ra O cũng là trung điểm của BC

Vậy các trung điểm của ba đoạn thẳng là AF ,DE, BC trùng nhau

Xét tam giác OAM= tam giác OCN có

Góc BAC = góc ACD (góc so le trong)

OA = OC (TRONG HÌNH BÌNH HÀNH HAI ĐƯỜNG CHÉO CẮT NHAU TẠI TRUNG ĐIỂM MỖI ĐƯỜNG)

Góc AOM bằng góc CON (2 góc đối đỉnh)

Suy ra tam giác OAM = tam giác OCN( g.c.g) suy ra AM= CN

Ta có

AB = CD (cạnh đối hình bình hành) suy ra AB - AM = CD - CN suy ra MB = ND(1)

AB //CD(cạnh đối hình bình hành) suy ra MB // ND (2)

Từ (1) và (2) suy ra MBND là hình bình hành

a) Vì ABCD là hình bình hành nên AB=CD,AB//CD

Mà E ,F lần lượt là trung điểm của AB ,CD nên AE = BE = CF = DF= CD

Do đó AE = BE = CF = DF

Xếp tứ giác AEFD có:

AE=DF(vì AB//CD)

AE=DF(chứng minh trên)

Do đó tứ giác AEFD là hình bình hành

b) vì tứ giác AEFD là hình bình hành nên EF = AD vì tứ giác AECF là hình bình hành nên AF = EC vậy EF = AD, AF = EC