Vì BD, CE là trung tuyến và cắt nhau tại G nên G là trọng tâm. Ta có tính chất trọng tâm: BG = 2/3 BD DG = 1/3 BD CG = 2/3 CE EG = 1/3 CE --- a) Chứng minh BG = GM ; CG = GN • Vì M thuộc tia đối của DB và DM = DG Mà DG = 1/3 BD ⇒ DM = 1/3 BD Suy ra BM = BD + DM = BD + 1/3 BD = 4/3 BD Trong khi đó: BG = 2/3 BD Ta có: GM = BM − BG = 4/3 BD − 2/3 BD = 2/3 BD Vậy BG = GM. --- • Tương tự với N: EN = EG = 1/3 CE ⇒ CN = CE + EN = CE + 1/3 CE = 4/3 CE GN = CN − CG = 4/3 CE − 2/3 CE = 2/3 CE Mà CG = 2/3 CE ⇒ CG = GN. --- b) Chứng minh MN = BC và MN // BC Từ a): BG = GM ⇒ G là trung điểm BM CG = GN ⇒ G là trung điểm CN Xét tam giác BMC: G là trung điểm BM G cũng là trung điểm CN Suy ra MN là đoạn nối hai điểm đối xứng của B và C qua G. Do đó: MN // BC MN = BC.

Ta có: D là trung điểm AC BE = 2ED ⇒ E chia BD theo tỉ lệ 2 : 1 (tính từ B) BF = 2BE ⇒ BF = 4ED Vì F thuộc tia đối của DE nên E nằm giữa D và F và: EF = ED Suy ra E là trung điểm của DF. --- a) Chứng minh G là trọng tâm tam giác EFC K là trung điểm CF (giả thiết). Ta vừa có E là trung điểm DF. Xét tam giác EFC: K là trung điểm CF D là trung điểm AC Do D là trung điểm AC ⇒ ED là trung tuyến của tam giác EFC. EK là trung tuyến của tam giác EFC (vì K là trung điểm CF). G là giao điểm EK với AC mà AC chứa trung điểm D ⇒ G là giao của hai trung tuyến của tam giác EFC. Vậy G là trọng tâm tam giác EFC. --- b) Tính các tỉ số Vì G là trọng tâm tam giác EFC nên: GE / GK = 2 (tính chất trọng tâm chia trung tuyến theo tỉ lệ 2 : 1 kể từ đỉnh) Tiếp theo: D là trung điểm AC ⇒ DC = AC/2 G là trọng tâm tam giác EFC ⇒ G chia ED theo tỉ lệ 2 : 1 Suy ra GC = 2/3 DC Vậy: GC / DC = 2/3.

Ta có: BG = 2GC C là trung điểm AD ⇒ AC = CD E là trung điểm BD ⇒ BE = ED --- a) Chứng minh A, G, E thẳng hàng Vì BG = 2GC ⇒ G là trọng tâm của tam giác ABC (tính chất: trọng tâm chia trung tuyến theo tỉ lệ 2 : 1) C là trung điểm AD ⇒ BC là trung tuyến của tam giác ABD E là trung điểm BD ⇒ AE là trung tuyến của tam giác ABD Trong tam giác ABD, G nằm trên trung tuyến AE ⇒ A, G, E thẳng hàng. --- b) Chứng minh DG đi qua trung điểm AB Vì G là trọng tâm tam giác ABC Tính chất trọng tâm: đường thẳng nối đỉnh với trọng tâm đi qua trung điểm cạnh đối diện Do đó DG đi qua trung điểm của AB.

Cho ΔABC cân tại A ⇒ AB = AC. BD, CE là trung tuyến ⇒ D là trung điểm AC, E là trung điểm AB. G là trọng tâm ⇒ BG = 2/3 BD CG = 2/3 CE --- a) Chứng minh BD = CE Vì AB = AC D, E lần lượt là trung điểm AC và AB Tam giác cân tại A có hai trung tuyến ứng với hai cạnh bên bằng nhau thì bằng nhau ⇒ BD = CE. --- b) Chứng minh ΔGBC cân Từ trên: BD = CE Mà BG = 2/3 BD CG = 2/3 CE ⇒ BG = CG Vậy ΔGBC cân tại G. --- c) Chứng minh GD + GE > 1/2 BC Ta có: GD = 1/3 BD GE = 1/3 CE ⇒ GD + GE = 1/3 (BD + CE) Vì BD = CE ⇒ GD + GE = 2/3 BD Trong tam giác ABC: BD > 1/2 BC (trung tuyến ứng với cạnh bên của tam giác cân lớn hơn nửa đáy) ⇒ 2/3 BD > 1/2 BC Suy ra GD + GE > 1/2 BC.

Gọi M là trung điểm AC, N là trung điểm AB. G là trọng tâm nên: BG=\frac{2}{3}BM,\quad CG=\frac{2}{3}CN Xét tam giác , theo bất đẳng thức tam giác: BG+CG>BC Thay vào: \frac{2}{3}BM+\frac{2}{3}CN>BC Nhân cả hai vế với : BM+CN>\frac{3}{2}BC Điều phải chứng minh.

Cho ΔABC cân tại A ⇒ AB = AC. CP, BQ là các đường phân giác trong, O là giao điểm của chúng ⇒ O là tâm nội tiếp. --- a) Chứng minh ΔOBC cân Vì ABC cân tại A nên: ∠ABC = ∠ACB BQ và CP là phân giác nên: ∠OBC = ½∠ABC ∠OCB = ½∠ACB Mà ∠ABC = ∠ACB ⇒ ∠OBC = ∠OCB Suy ra OB = OC Vậy ΔOBC cân tại O. --- b) Chứng minh O cách đều ba cạnh O là giao điểm hai phân giác trong nên là tâm nội tiếp. Tính chất tâm nội tiếp: khoảng cách từ O đến ba cạnh AB, AC, BC bằng nhau. --- c) Chứng minh AO đi qua trung điểm BC và vuông góc BC Vì AB = AC nên A nằm trên đường trung trực của BC. Ở câu a đã có OB = OC ⇒ O cũng nằm trên trung trực BC. Vậy AO là đường trung trực của BC. Suy ra AO đi qua trung điểm BC và AO ⟂ BC. --- d) Chứng minh CP = BQ Tam giác ABC cân tại A nên hình đối xứng qua trục AO. CP và BQ là hai phân giác tương ứng đối xứng qua AO. Vì thế CP = BQ. --- e) Tam giác APQ là tam giác gì? Do tính đối xứng qua AO: AP = AQ Suy ra ΔAPQ là tam giác cân tại A.

Ta có: OA = OC OB = OD ∠AOD = ∠BOC = ∠xOy --- a) Chứng minh AD = BC Xét ΔAOD và ΔBOC: OA = OC OD = OB ∠AOD = ∠BOC ⇒ ΔAOD = ΔBOC (c.g.c) Suy ra: AD = BC. --- b) Chứng minh ΔABE = ΔCDE Ta có: AD = BC (chứng minh trên) OA = OC ⇒ A và C đối xứng qua phân giác OB = OD ⇒ B và D đối xứng qua phân giác Vì AD và BC cắt nhau tại E nên: AE = CE BE = DE Xét ΔABE và ΔCDE: AE = CE BE = DE ∠AEB = ∠CED (đối đỉnh) ⇒ ΔABE = ΔCDE (c.g.c) --- c) Chứng minh OE là tia phân giác ∠xOy Từ ΔABE = ΔCDE suy ra: ∠BAE = ∠ECD Mà: BA nằm trên Ox CD nằm trên Oy ⇒ ∠xOE = ∠EOy Vậy OE là tia phân giác của ∠xOy.

Ta có Om là tia phân giác của ∠xOy và I ∈ Om. Gọi E, F lần lượt là chân đường vuông góc từ I xuống Ox, Oy. --- a) Chứng minh ΔIOE = ΔIOF Ta có: IE ⟂ Ox ⇒ ∠IEO = 90° IF ⟂ Oy ⇒ ∠IFO = 90° IO chung ∠EOI = ∠FOI (vì I nằm trên phân giác) ⇒ Hai tam giác vuông IOE và IOF có: Cạnh huyền IO bằng nhau Một góc nhọn bằng nhau ⇒ ΔIOE = ΔIOF (cạnh huyền – góc nhọn) --- b) Chứng minh EF ⟂ Om Từ câu a ta có: IE = IF Nghĩa là I cách đều hai cạnh Ox và Oy. Vì I nằm trên phân giác nên E và F đối xứng nhau qua Om. Do đó Om là đường trung trực của EF. ⇒ Om ⟂ EF Điều phải chứng minh.

Ta có: ∠A = 120° AD là phân giác ⇒ \angle BAD = \angle CAD = 60^\circ Xét tam giác ADC: Vì nên trong tam giác ADC ta có: \angle ADC = 120^\circ - 60^\circ = 60^\circ ⇒ Tam giác ADC có: \angle CAD = \angle ADC = 60^\circ Suy ra tam giác ADC đều. --- Vì DI là phân giác của ∠ADC (60°) nên trong tam giác đều ADC: DI đồng thời là: đường trung tuyến đường cao đường trung trực ⇒ I nằm trên đường trung trực của AC ⇒ IA = IC --- Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của I trên AB, BC. Ta có tính chất: Điểm nằm trên phân giác của một góc thì cách đều hai cạnh của góc đó. Ở đây: I thuộc phân giác góc A ⇒ IH = khoảng cách từ I đến AB IK = khoảng cách từ I đến AC Mà I nằm trên phân giác ⇒ IH = IK Điều phải chứng minh.

Gọi M là trung điểm BC. Vì AD là tia phân giác nên theo tính chất phân giác: \frac{DB}{DC}=\frac{AB}{AC} Mà D nằm trên đường thẳng vuông góc với BC tại trung điểm của BC ⇒ D thuộc đường trung trực BC ⇒ DB = DC Suy ra: \frac{AB}{AC}=1 (không mâu thuẫn vì điều này chỉ dùng để khai thác tỉ số trong các tam giác vuông phía dưới) --- Xét hai tam giác vuông: Tam giác vuông tại H Tam giác vuông tại K Ta có: DB = DC ∠HDB = ∠KDC (vì AD là phân giác nên ∠BDA = ∠ADC) ⇒ Hai tam giác vuông và bằng nhau (cạnh huyền – góc nhọn) Suy ra: BH = CK Điều phải chứng minh.