a) Vì AH,CK vuông góc với BD

Suy ra AH//CK

Vì ABCD là hình bình hành

NênAD=BC

AD//BC

Xét tam giác ADH và tam giác CBK có

góc AHD = góc CKB=90 độ

AD=BC

góc ADH= góc CBK (do AD//BC)

Suy ra tam giác ADH= tam giác CBK(cạnh huyền- góc nhọn)

Suy ra AH=CK

Mà AH//CK (cmt)

Nên AHCK là hình bình hành

a)Vì ABCD là hình bình hành

Nên AD=BC

AD//BC

Mà E,F là trung điểm của AD và BC

Suy ra AE=ED=BF=CF

Xét tứ giác EBFD có

ED=FB

ED//FB(AD//BC)

Nên tứ giác EBFD là hình bình hành

b)Vì ABCD là hình bình hành

Suy ra O là trung điểm AC và BD

Mà EBFD là hình bình hành

Suy ra O cũng là trung điểm EF

Suy ra ba điểm O,E, F thẳng hàng

Xét tam giác ABC có hai đường trung tuyến BM và cắt nhau tại G.

Nên G là trọng tâm của tam giác ABC

Suy ra

GM=GB:2,GN=GC:2 (1)

Mà P là trung điểm của GB

Nên GP=PB=GB:2 (2)

Q là trung điểm của GC

Nên GQ=QC=GC:2 (3)

Từ (1)(2)(3)=>GM=GP,GN=GQ

Xét tứ giác PQMN có

GM=GP;GN=GQ(2 đương chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường)

Vậy PQMN là hình bình hành

a)Do ABCD là hình bình hành

nên AB//CD

DC=AB

Ta có

AE=2AB( B là trung điểm AE)

DF=2CD(C là trung điểm DF)

Suy ra AE=DF

Xét tứ giác AEFD có

AE=DF

AE//DF(AB//CD)

Suy ra tứ giác AEFD là hình bình hành

Vì C là trung điểm DF

nên DC=CF

Mà AB=DC

Suy ra AB=CF

Xét tứ giác ABFC có

AB=CF

AB//CF(AB//CD)

Suy ra tứ giác ABFC là hình bình hành

Vì ABCD là hình bình hành nên

OA=OC,OB=OD

Vì AM//CN(AB//CD) nên

Góc OAM= góc OCN(2 góc so le trong)

Xét tam giác OAM và tam giác OCN có

Góc OAM=góc OCN

OA=OC

Góc AOM =góc CON (2 góc đối đỉnh)

Suy ra tam giác OAM = tam giác OCN(g.c.g)

Suy ra AM=CN (2 cạnh tương ứng)

Ta có

AB=CD

AB=AM+BM

CD=CN+DN

Suy ra BM=DN

Xét tứ giác MBND có

BM//DN(AB//CD)

BM=DN

Vậy tứ giác MBND là hình bình hành

a)Vì ABCD là hình bình hành nên

AB//CD

AB=CD

AC=BD

Ta có:

AE=EB=AB:2(E là trung điểm của AB)

FD=FC=CD:2(F là trung điểm của CD)

Mà AB=CD(cmt)

Nên AE=FD và AE=CF

Xét tứ giá AEFD có

AE//FD(AB//CD)

AE=FD

Suy ra tứ giác AEFD là hình bình hành

Xét tứ giác AECF có

AE=CF

AE//CF(AB//CD)

Suy ra tứ giác AECF là hình bình hành

b)Vì AEDF là hình bình hành

nên EF=AD

Vì AECF là hình bình hành

nên AF=CE