Xét tam giác \(A B C\) có hai đường trung tuyến \(B M\) và \(C N\) cắt nhau tại \(G\) (giả thiết) nên \(G\) là trọng tâm của \(\Delta A B C\).

Suy ra \(G M = \frac{G B}{2}\); \(G N = \frac{G C}{2}\) (tính chất trọng tâm của tam giác) (1)

Mà \(P\) là trung điểm của \(G B\) (giả thiết) nên \(G P = P B = \frac{G B}{2}\) (2)

\(Q\) là trung điểm của \(G C\) (giả thiết) nên \(G Q = Q C = \frac{G C}{2}\) (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra \(G M = G P\) và \(G N = G Q\).

Xét tứ giác \(P Q M N\) có: \(G M = G P\) và \(G N = G Q\) (chứng minh trên)

Do đó tứ giác \(P Q M N\) có hai đường chéo \(M P\) và \(N Q\) cắt nhau tại trung điểm \(G\) của mỗi đường nên là hình bình hành.

Hình bình hành abcd có

E là trung điểm AD

F là tiếng điểm BC

Vì ABCD là hình bình hành nên AD//BC và AD=BC

Vì E là điểm của BC nên AD=1/2 AD

Vì à là trung điểm của BC nên BF=1/2 BC

Do AD=Bc nên ED=BF

Vì AD//BC nên Ed//BF

Xét tứ giác EBFD có

Ed//Bf (cmt)

ED=BF (cmt)

Vậy EBFD hình bình hành

O là giao điểm của 2 đường chéo AC và BD của hbh Abcd

Theo t/c hbh, 2 đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường nên O là trung điểm của BD

Vì EBFD là hbh (cmt)

Trong hình bình hành EBFD, 2 đường chéo Bd và Ef cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường

Mà O là trung điểm của BD (cmt)

Suỵt ra O là trung điểm của EF

Vì AH vuông góc với BD tại H và CK vuông góc với BD tại K nênuAH và CK vuông góc với đường thẳng BD do đó AH//CK

Xét tam giác vuông ADH và tam giác vuông CBK

Ad=Bc

Góc ADH=Góc CBK (2 góc so le trong)

Suy ra tam giác AD=tam giác CBK (ch-gn)

Suy ra AH=CK (2 cạnh t/ứng)

Xét tứ giác AHCk có AH//CK và AH=CK nên AHCK là hình bình hành (đâu hiệu nhận biết)

Vì ahck là hình bình hành, 2 đg chéo ac & bd cắt nhau tại trung điểm nên O là trung điểm của ac & bd

Vì ahck là hbh, 2 đường chéo AC và Hk cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường nên O là giao điểm AC và Hk nên O là trung điểm của HK

Vì O là trung điểm của HK (cmt) và I là trung điểm HK (gt) suy ra I là trùng với O

Nên I là trung điểm của BD

Do đó IB=ID

Vì ABCD là hình bình hành nên ad//bc và ad=bc

B là trung điểm Ae nên ab=be

C là trung điểm DF nên DC = CF

Vì ABCD là hình bình hành nên AB=DC

Suy ra be=cf

Do BE=CF nên BEFC là hình bình hành

Suy ra EF//BC và EF=BC

Vì AD//BC & EF//BC nên AD//Ef

Tứ giác AEFD có cặp cạnh đối song song và bằng nhau (AD//EF và AD = Ef) nên AEFD là hình bình hanfh

vì ABCD là hình bình hành nên AB//DC

và AB=DC

C là trung điểm của DF nên DC=CF

Từ đó suy ra AB=CF

Vì AB//DC và DC nằm trong đường thẳng chứa CF nên AB//CF

Tứ Giác ABFC có 1 cặp cạnh đối song song và bằng nhau (AB//CF và AB=CF) nên ABFC là hình bình hành

Vì abcd là hình bình hành

Nên o là trung điểm do đó: oa=oc và ob=od

Xét tâm giác oam và tam giác ocn có

Góc oam = góc ocn (2 gósole tron)

OA=OC (cmt)

Góc oam = góc con (2 góc đối đỉn)

nên tam giác oam = tâm giác ocn (g-c-g)

Vì oam = ocn nên om =on

Có O là trung điểm của BD (cmt)

Và O là trung điểm của MN (OM = ON)

Vì tứ giác MBND có 2 đg chéo BD và MN cắt nhau tại O

Do đó MBND là hình bình hành

Vì ABCD là hình bình hành nên:

AB//CD

AB=CD

E là trung điểm AB, à là trung điểm CD (gt)

=>AE=EB=AB:2 DF=FC=CD:2

Suy ra AE=DF (vì AB=CD)

Vì AB//CD nên AE//DF

Tứ giác AEFD có AE\\ DF và AE//DF và AEFD có AE//DF và AE=DF nên AEFD là hình bình hình hành (theo giấu hiệu)