Xét  \(\Delta\) ABC có 2 đường trung tuyến BM và CN cắt nhau tại G ( gt )

Suy ra : G là trọng tâm của  \(\Delta\) ABC

Suy ra : GM = GB/2 , GN = GC/2 ( Tính chất trọng tâm của tam giác )

Mà P là trung điểm của GB ( gt )

Suy ra : GP = PB = GB/2

Q là trung điểm của GC

Suy ra : GQ = QC=GC/2

Từ đó : GN = GQ , GM = GP

Xét tứ giác PQMN có :

GN = GB ( cmt ) , GM = GP ( cmt )

Suy ra : tứ giác PQMN là hình bình hành

Xét  \(\Delta\) ABC có 2 đường trung tuyến BM và CN cắt nhau tại G ( gt )

Suy ra : G là trọng tâm của  \(\Delta\) ABC

Suy ra : GM = GB/2 , GN = GC/2 ( Tính chất trọng tâm của tam giác )

Mà P là trung điểm của GB ( gt )

Suy ra : GP = PB = GB/2

Q là trung điểm của GC

Suy ra : GQ = QC=GC/2

Từ đó : GN = GQ , GM = GP

Xét tứ giác PQMN có :

GN = GB ( cmt ) , GM = GP ( cmt )

Suy ra : tứ giác PQMN là hình bình hành

Xét  \(\Delta\) ABC có 2 đường trung tuyến BM và CN cắt nhau tại G ( gt )

Suy ra : G là trọng tâm của  \(\Delta\) ABC

Suy ra : GM = GB/2 , GN = GC/2 ( Tính chất trọng tâm của tam giác )

Mà P là trung điểm của GB ( gt )

Suy ra : GP = PB = GB/2

Q là trung điểm của GC

Suy ra : GQ = QC=GC/2

Từ đó : GN = GQ , GM = GP

Xét tứ giác PQMN có :

GN = GB ( cmt ) , GM = GP ( cmt )

Suy ra : tứ giác PQMN là hình bình hành

Xét  \(\Delta\) ABC có 2 đường trung tuyến BM và CN cắt nhau tại G ( gt )

Suy ra : G là trọng tâm của  \(\Delta\) ABC

Suy ra : GM = GB/2 , GN = GC/2 ( Tính chất trọng tâm của tam giác )

Mà P là trung điểm của GB ( gt )

Suy ra : GP = PB = GB/2

Q là trung điểm của GC

Suy ra : GQ = QC=GC/2

Từ đó : GN = GQ , GM = GP

Xét tứ giác PQMN có :

GN = GB ( cmt ) , GM = GP ( cmt )

Suy ra : tứ giác PQMN là hình bình hành

Xét  \(\Delta\) ABC có 2 đường trung tuyến BM và CN cắt nhau tại G ( gt )

Suy ra : G là trọng tâm của  \(\Delta\) ABC

Suy ra : GM = GB/2 , GN = GC/2 ( Tính chất trọng tâm của tam giác )

Mà P là trung điểm của GB ( gt )

Suy ra : GP = PB = GB/2

Q là trung điểm của GC

Suy ra : GQ = QC=GC/2

Từ đó : GN = GQ , GM = GP

Xét tứ giác PQMN có :

GN = GB ( cmt ) , GM = GP ( cmt )

Suy ra : tứ giác PQMN là hình bình hành

Xét  \(\Delta\) ABC có 2 đường trung tuyến BM và CN cắt nhau tại G ( gt )

Suy ra : G là trọng tâm của  \(\Delta\) ABC

Suy ra : GM = GB/2 , GN = GC/2 ( Tính chất trọng tâm của tam giác )

Mà P là trung điểm của GB ( gt )

Suy ra : GP = PB = GB/2

Q là trung điểm của GC

Suy ra : GQ = QC=GC/2

Từ đó : GN = GQ , GM = GP

Xét tứ giác PQMN có :

GN = GB ( cmt ) , GM = GP ( cmt )

Suy ra : tứ giác PQMN là hình bình hành

Xét  \(\Delta\) ABC có 2 đường trung tuyến BM và CN cắt nhau tại G ( gt )

Suy ra : G là trọng tâm của  \(\Delta\) ABC

Suy ra : GM = GB/2 , GN = GC/2 ( Tính chất trọng tâm của tam giác )

Mà P là trung điểm của GB ( gt )

Suy ra : GP = PB = GB/2

Q là trung điểm của GC

Suy ra : GQ = QC=GC/2

Từ đó : GN = GQ , GM = GP

Xét tứ giác PQMN có :

GN = GB ( cmt ) , GM = GP ( cmt )

Suy ra : tứ giác PQMN là hình bình hành

Xét  \(\Delta\) ABC có 2 đường trung tuyến BM và CN cắt nhau tại G ( gt )

Suy ra : G là trọng tâm của  \(\Delta\) ABC

Suy ra : GM = GB/2 , GN = GC/2 ( Tính chất trọng tâm của tam giác )

Mà P là trung điểm của GB ( gt )

Suy ra : GP = PB = GB/2

Q là trung điểm của GC

Suy ra : GQ = QC=GC/2

Từ đó : GN = GQ , GM = GP

Xét tứ giác PQMN có :

GN = GB ( cmt ) , GM = GP ( cmt )

Suy ra : tứ giác PQMN là hình bình hành

a) Vì ABCD là hình bình hành nên AB = CD; AB // CD.

Mà hai điểm B, C lần lượt là trung điểm AE, DF.

Suy ra AE = DF; AB = BE = CD = CF.

Xét tứ giác AEFD có

AE // DF (vì AB // CD)

AE = DF (chứng minh trên).

Suy ra : tứ giác AEFD là hình bình hành.

Xét tứ giác ABFC có

AB // CF (vì AB // CD)

AB = CF (chứng minh trên).

Suy ra : tứ giác ABFC là hình bình hành.

b) Vì AEFD hình bình hành có hai đường chéo AF và DE nên chúng cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường

Suy ra : ta gọi giao điểm đó là O.

Hình bình hành AEFD có hai đường chéo AF và BC.

Mà O là trung điểm của AF ( vì AEFD là hình bình hành )

Suy ra : O cũng là trung điểm của BC.

Vậy các trung điểm của ba đoạn thẳng AF, DE, BC trùng nhau.

a) Vì ABCD là hình bình hành ( gt ) nên : AD // BC , AD = BC

Vì E,F lần lượt là trung điểm của AD và BC ( gt )

Mà AD = BC ( cmt )

Suy ra : AE = ED = BF = FC

Xét tứ giác EBFD có

ED = BF ( cmt )

ED = BF ( vì AD // BC )

Suy ra : EBFC là hình bình hành

b) Ta có : EBFD là hình bình hành ( cmt ) 

Suy ra : BD cắt EF tại trung điểm của mỗi đường .

Mà O là trung điểm của BD 

Suy ra : O cũng là trung điểm của EF.

Suy ra : 3 điểm E, O, F thẳng hàng.