a) Vì ABCD là hình bình hành (gt)

nên AD // BC; AD = BC

⇒ A\(\hat{D}\)H = C\(\hat{B}\)K (so le trong)

Vì AH ⊥ BD (gt)

CK ⊥ BD (gt)

⇒ AH // CK

Xét ∆AHD và ∆CKB có:

AD = BC (cmt)

A\(\hat{D}\)H = C\(\hat{B}\)K (cmt)

Do đó ∆AHD = ∆CKB (ch-gn)

⇒ AH = CK (hai cạnh t/ứ)

Xét tứ giác AHCK có:

AH // CK (cmt)

AH = CK (cmt)

Do đó AHCK là hình bình hành

b) Vì AHCK là hình bình hành (cmt)

mà I là trung điểm HK (gt)

⇒ I là trung điểm AC

Vì ABCD là hình bình hành (gt)

mà I là trung điểm AC (cmt)

⇒I là trung điểm BD

Do đó IB = ID

a) Vì ABCD là hình bình hành nên AD // BC và AD = BC. 

Ta có: E là trung điểm của AD nên DE = AE

F là trung điểm của BC nên BF = CF

=> DE = BF và DE // BF (vì AD // BC). 

Do đó, tứ giác EBFD là hình bình hành.

b) Ta có: O là giao điểm của hai đường chéo của hình bình hành ABCD

=> O là trung điểm của BD

Vì EBFD là hình bình hành (cmt)

nên hai đường chéo BD và EF cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

Mà O là trung điểm của BD

=> O là trung điểm của EF.

Do đó ba điểm E, O, F thẳng hàng.

Xét tam giác ABC có: BM và CN cắt nhau tại G

Nên G là trọng tâm của tam giác ABC

=> GM = GB/2, GN = GC/2 (1)

Mà P là TĐ của GB nên GP = PB = GB/2 (2)

Q là TĐ của GC nên GQ = QC = GC/2 (3)

Từ (1), (2), (3) => GM = GP, GN = GQ

Do đó tứ giác PQMN là hình bình hành

Vì ABCD là hình bình hành nên AB = CD, AB // CD

Ta có: B là TĐ của AE nên AB = AE

C là TĐ của DF nên CD = CF

Mà AB = CD (cmt)

=> AB = AE = CD = CF

hay AE = DF

Vì AB // CD (cmt) nên AE // DF

Do đó tứ giác AEFD là hình bình hành

Xét tứ giác ABFC có:

AB = CF (cmt)

AB // CF ( Vì AB // CD )

Do đó tứ giác ABFC là hình bình hành

b) Ta có: AEFD là hình bình hành nên AF cắt ED tại trung điểm mỗi đường

ABFC là hình bình hành nên AF cắt BC tại trung điểm mỗi đường

Do đó ba trung điểm của AF, DE, BC trùng nhau.

Vì ABCD là hình bình hành

Nên OA = OC, OB = OD; AB // DC; AB = CD

=> MAO = OCN ( 2 góc so le trong )

Xét \(\Delta\)OAM và \(\Delta\)OCN có:

MAO = OCN (cmt)

OA = OC (cmt)

AOM = CON ( 2 góc đối đỉnh )

Do đó \(\Delta\)OAM = \(\Delta\)OCN ( g.c.g )

=> AM = CN ( 2 cạnh t/ứ )

Ta có: AB = AM + BM

CD = DN + CN

Mà AB = CD; AM = CN (cmt)

=> BM = DN

Xét tứ giác MBND có:

BM = DN (cmt)

BM // DN ( vì AB // DC )

Do đó tứ giác MBND là hình bình hành

a) Vì ABCD là hình bình hành

nên AB // CD và AB = CD. 

Ta có: E là trung điểm của AB nên AE = BE

 F là trung điểm của CD nên DF = CF

Mà AB = CD (cmt)

=> AE = DF = BE = CF

Vì AB // CD (cmt) nên AE // DF. 

Do đó tứ giác AEFD là hình bình hành

Xét tứ giác AECF có:

AE // CF ( Vì AB // CD )

AE = CF (cmt)

Do đó tứ giác AECF là hình bình hành

b) Ta có: AEFD là hình bình hành

=> EF = AD

AECF là hình hình hành

=> AF = EC