a) Vì AH, CK vuông góc với BD (gt)

Suy ra AH // CK

Vì ABCD là hình bình hành (gt)

Suy ra AD=BC; AD // BC

Xét ΔADH và ΔCBK ta có:

ˆAHD=ˆCKB=90∘ (gt)

AD=BC (cmt)

ˆADH=ˆCBK (do AD // BC)

Suy ra ΔADH=ΔCBK (ch-gn)

Suy ra AH=CK (hai cạnh tương ứng)

Mà AH // CK (cmt)

Suy ra AHCK là hình bình hành

b) Vì AHCK là hình bình hành nên hai đường chéo HK và AC cắt nhau tại trung điểm.

Mà I là trung điểm của HK.

Suy ra I là trung điểm của AC.

Ta lại có ABCD là hình bình hành nên hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại trung điểm. 

Suy ra I là trung điểm của BD hay IB=ID

Vì ABCD là hình bình hành(gt)

nên AD // BC

Vì E là trung điểm của AD và F là trung điểm của BC nên DE nằm trên AD và BF nằm trên BC.

Do đó, DE // BF.

Vì ABCD là hình bình hành nên AD = BC.

Vì E là trung điểm của AD nên ED = 1/2 AD.

Vì F là trung điểm của BC nên BF = 1/2 BC.

Do AD = BC và E, F là trung điểm nên ED = BF.

Xét tứ giác EBFD, ta có DE // BF và DE = BF.

Vậy, tứ giác EBFD là hình bình hành theo dấu hiệu nhận biết hình bình hành. 


O là giao điểm hai đường chéo của hình bình hành ABCD,

do đó O là trung điểm của đường chéo BD.

EBFD là hình bình hành, và hai đường chéo của nó là EF và BD.

Theo tính chất của hình bình hành, hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

Vì O là trung điểm của BD và O cũng là trung điểm của EF (do EBFD là hình bình hành), nên ba điểm E, O, F thẳng hàng.

xét tam giác ABC có

CN là trung tuyến ứng với AB(gt)

BM là trung tuyến ứng với AC (gt )

suy ra MN là đường trung bình của tam giác ABC

do đó MN//AB và MN=1/2BC

Xét tam giác GBC có

P là trung điểm BG(gt)

Q lạc trung điểm GC (gt)

suy ra BG m là đường trung bình của tam giác GBC

Do đó PQ//BC và PQ=1/2BC

có MN//BC,PQ//BC(cmt)

suy ra MN//PQ

có MN = 1/2BC , PQ=1/2BC (cmt)

suy ra MN=PQ=1/2 BC

xét tứ giác MNPQ có

MN//PC,MN=PQ(cmt)

suy ra MNPQ là hình bình hành ( dấu hiệu nhận biết hình bình hành )

a, Vì ABCD là hình bình hành nên:

suy ra AB//CD và AB=CD ( tính chất hình bình hành)

Vì B là trung điểm AE

suy ra AB=BE= 1/2 AE

Vì C là trung điểm DE

suy ra : DC=CF=1/2 DF

Lại có

AB=CD(chứng minh trên)

suy ra AE=2AB và DF=2DC

nên AE=DF

mặt khác :

AB// DC ( mà E nằm trên đường thẳng AB và F nằm trên đường thẳng DC)

suy ra AE//DF

vì tứ giác AEFD có cặp cạnh đối AE và EF vừa song song vừa bằng nhau

suy ra: tứ giác AEFD là hình bình hành ( dấy hiện nhận biết )

+) vì ABCD là hình bình hành ( gt)

suy ra AB // DC,AB = DC.(

• Vì C là trung điểm của DF

suy ra CF = DC

óAB = DC

CF = DC

AB = CF.

• Mặt khác, AB // DC, mà F nằm trên đường thẳng DC \Longrightarrow AB // CF.

• Tứ giác ABFC có cặp cạnh đối AB và CF vừa song song vừa bằng nhau

suy ra ABFC là hình bình hành (theo dấu hiệu nhận biết)

b,Vì ABFC là hình bình hành (cmt), hai đường chéo AF và BC cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

• Do I là trung điểm của BC, nên I cũng là trung điểm của AF

Ta có AB = BE (vì B là trung điểm AE).

• Ta có AB = DC (vì ABCD là hình bình hành).

• Suy ra BE = DC.

• Mặt khác, AB//DC

suy ra BE//DC

Tứ giác DBCE có cặp cạnh đối BE và DC vừa song song vừa bằng nhau

suy ra DBCE là hình bình hành ( dấu hiệu nhận biết)

mà DE và BC của hình bình hành DBCE là hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường

 Vì I là trung điểm của BC, nên I cũng là trung điểm của DE

suy ra: Điểm I là trung điểm chung của ba đoạn thẳng AF, DE, và BC.

Vậy, các trung điểm của ba đoạn thẳng này trùng nhau (đpcm).

Vì ABCD là hình bình hành (gt)

Suy ra AB // CD,AB = CD,O là trung điểm AC (tính chất hình bình hành)

Có AB // CD (cmt)

Suy ra góc MAC = góc ACN (2 góc so le trong)

Xét tam giác QAM và tam giác QCN có:

góc MAC = góc ACN (cmt)

OA = OC (O là trung điểm AC, cmt)

góc AOM = góc CON (2 góc đối đỉnh)

Suy ra tam giác AOM = tam giác CON (g.c.g)

Suy ra AM = NC (2 cạnh tương ứng)

Có AB = AM + MB,DC = DN + NC

Mà AM = NC (cmt), AB = DC (cmt)

Suy ra MB = DN

Có AB // DC (cmt)

Mà M thuộc AB,thuộc DC

Suy ra MB // DN

Xét tứ giác MBND có MB = DN (cmt) và MB // DN (cmt)

Suy ra MBND là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết hình bình hành)

a) Vì ABCD là hình bình hành

Suy ra AB // DC,AB = CD (tính chất)

Có AB // CD (cmt) mà E thuộc AB,\ F thuộc DC

ra AE // DF,\ AE // CF

Có AB = DC (cmt) mà E là trung điểm AB, Flà trung điểm DC

Nên AE= EB=DF=FC=1/2AB=1/2DC

Xét tứ giác AEFD có AE // DF,\ AE = DF (cmt)

Suy ra AEFD là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết hình bình hành)

Xét tứ giác AECF có AE // CF,\ AE = CF (cmt)

Suy ra AECF là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết hình bình hành)

b) Vì AEDF là hình bình hành (cmt)

Suy ra AD = EF (tính chất hình bình hành)

Vì AEFC là hình bình hành (cmt)

Suy ra AF = EC (tính chất hình bình hành)