a)Vì ABCD là hình bình hành (gt)

Suy ra AD=DC

AD // BC

Mà E,F là trung điểm của AD, BC(gt)

Suy ra AE=ED=BF=FC

Xét tứ giác EBFD có:

ED= BF (cmt)

ED // BF ( vì AD // BC )

Suy ra EBFD là hình bình hành

b) Vì ABCD là hình bình hành (gt)

Nên O vừa là giao điểm vừa là trung điểm của 2 đường chéo AC và BD (1)

Mà EBFD là hình bình hành (cmt)

EF cắt BD tại trung điểm của nó (2)

Từ (1) và (2)

Suy ra O thuộc EF và là trung điểm của EF

Do đó E,O,F thẳng hàng

Xét tam giác ABC có

Đường trung tuyến ​BM cắt đường trung tuyến CN tại G (gt)

Do đó G là trọng tâm của tam giác ABC

Nên GN = 1/2 CG

-> GN=QG= QC ( Q là trung điểm GC)

GM=1/2 GB

-> GM= GP=PB (P là trung điểm BG )

Xét tứ giác MNPQ có

GP=MG( cmt )

GN=GQ(cmt)

Mà NQ và MP là 2 đường chéo cắt nhau tại G

Do đó MNPQ là hình bình hành ( 2 đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường)

Xét tam giác ABC có

Đường trung tuyến ​BM cắt đường trung tuyến CN tại G (gt)

Do đó G là trọng tâm của tam giác ABC

Nên GN = 1/2 CG

-> GN=QG= QC ( Q là trung điểm GC)

GM=1/2 GB

-> GM= GP=PB (P là trung điểm BG )

Xét tứ giác MNPQ có

GP=MG( cmt )

GN=GQ(cmt)

Mà NQ và MP là 2 đường chéo cắt nhau tại G

Do đó MNPQ là hình bình hành ( 2 đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường)

Xét tam giác ABC có

Đường trung tuyến ​BM cắt đường trung tuyến CN tại G (gt)

Do đó G là trọng tâm của tam giác ABC

Nên GN = 1/2 CG

-> GN=QG= QC ( Q là trung điểm GC)

GM=1/2 GB

-> GM= GP=PB (P là trung điểm BG )

Xét tứ giác MNPQ có

GP=MG( cmt )

GN=GQ(cmt)

Mà NQ và MP là 2 đường chéo cắt nhau tại G

Do đó MNPQ là hình bình hành ( 2 đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường)

a)Vì ABCD là hình bình hành ( gt )

Nên AB = CD

AB//CD

Ta có AE = AB + BE

DF = DC + CF

Mà AB = BE ( B là trung điểm AE )

DC= CF ( C là trung điểm DF)

AB = DC (cmt)

=>DC= CF = AB= BE

Suy ra AE = DF

Xét tứ giác AEFD có

AE= DF (cmt )

AB //CD hay AE // DF(cmt)

Suy ra AEFD là hình bình hành

Xét tứ giác ABFC có

AB=CF (cmt)

AB//CF hay AB // CD

Suy ra ABFC là hình bình hành

b)​Vì AEFD là hình bình hành (cmt)

Nên AF cắt DE ở trung điểm của mỗi đoạn (1)

Vì ACFB là hình bình hành(cmt)

Nên AF cắt BC ở trung điểm của mỗi đoạn (2)

Từ (1) và (2)

Suy ra AF , ED , BC trùng nhau

Vì ABCD là hình bình hành và O là giao điểm của 2 đường chéo AC và BD (gt)

nên AB = CD

AO=OC

AB // CD -> góc OAM = góc OCN ( 2 góc so le trong )

Xét tam giác OAM và tam giác OCN có

góc AOM = góc CON ( 2 góc đối đỉnh )

OA = OC (cmt )

Góc OAM = góc OCN (cmt)

Suy ra tam giác OAM = tam giác OCN ( góc - cạnh- góc )

Nên AM = CN ( 2 cạnh tương ứng )

Ta có : AB= AM+MB

CD = CN + ND

Mà AB= CD (cmt )

AM=CN (cmt)

Suy ra MB = ND

Xét tứ giác MBND có:

MB=ND (cmt )

MB//ND (cmt )

Suy ra MBND là hình bình hành

a) Vì ABCD là hình bình hành ( giả thuyết )

Nên AB//CD ; AB=CD

Ta có : AB= AE + BE

CD = CF+FD

Mà AB = CD

AE=BE ( E là trung điểm của AB )

CF= DF ( F là trung điểm của CD )

Suy ra AE= BE = CF = DF

Xét tứ giác AEFD có :

AE //FD (cmt)

AE=FD ( cmt)

Suy ra AEFD là hình bình hành ( dấu hiệu 2 cạnh đối bằng nhau , song song với nhau)

Xét tứ giác AECF có :

AE//CF (cmt)

AE=CF (cmt)

Suy ra AECF là hình bình hành ( dấu hiệu 2 cạnh đối bằng nhau , song song với nhau)

b) Vì AEFD là hình bình hành (cmt)

Nên EF = AD

Vì AECF là hình bình hành (cmt)

Nên AF = EC