a) hai đường tròn luôn cắt nhau vì

b) và là hình vuông cạnh

c) có cùng power đối với hai đường tròn bên c thuộc ăn suy ra A,B,C thẳng hàng

để) nếu ở+k=a cố định C =(a,a) cố định nên mọi đường thẳng AB tương ứng đều đi qua điểm cố định (a,a)

--- a) Chứng minh là trung điểm của . Ta dùng vectơ / tham số để chứng minh ngắn gọn và rõ ràng. Đặt là gốc tọa độ: . Gọi toạ độ của là . Lấy vectơ đơn vị chỉ phương của đường (đi qua và vuông góc ) là . Vì nên . Phương trình tham số của đường : . Khi ta có điểm . và là hai giao điểm khác của với hai đường tròn; tức là tồn tại sao cho X(t_A)\in (O),\qquad X(t_B)\in (O'). Ta có công thức cho nghiệm còn lại của một đa thức dạng khi biết một nghiệm . Nếu ta viết đa thức đó là với thì nghiệm còn lại là , tức t_A=-\frac{2(\vec m-\vec o)\cdot\vec d}{\|\vec d\|^2},\qquad t_B=-\frac{2(\vec m-\vec o')\cdot\vec d}{\|\vec d\|^2}. t_A+t_B=-\frac{2(2\vec m-(\vec o+\vec o'))\cdot\vec d}{\|\vec d\|^2}. t_A+t_B=-\frac{2(2\vec m)\cdot\vec d}{\|\vec d\|^2}=-\frac{4\vec m\cdot\vec d}{\|\vec d\|^2}=0 Kết luận: hai điểm và nằm đối xứng nhau quanh . Vì thế là trung điểm của đoạn thẳng . □ (Đây là một cách chứng minh tổng quát, dùng tham số/vectơ; ta có thể diễn giải lại bằng hình học đối xứng: các nghiệm tham số đối nhau nghĩa là các đoạn và có cùng độ dài và ngược hướng, nên là trung điểm.) --- b) cắt tại . Chứng minh . Ta chứng minh là trung điểm của đoạn (tức ). Ý chính của chứng minh. Ta sẽ dùng biểu thức nghiệm như ở (a) và tính hai nghiệm giao của đường với mỗi đường tròn, rồi dùng tính chất đối xứng tương tự để thấy rằng giao điểm của với tương ứng với tham số = 0 trong hệ tọa độ theo trục — dẫn tới ở giữa và . Cụ thể, làm theo các bước: 1. Xét đường là đường tại vuông góc (đường chứa ). Xét đường là đường tại vuông góc (đường chứa ). Do cấu hình, mỗi đường cắt hai đường tròn: cắt tại và cắt có thể không cắt; tương tự cắt tại . 2. Dùng tham số trên đường (chọn vectơ chỉ phương cho ) và viết toạ độ các giao của đường với hai đường tròn. Mỗi đa thức bậc hai về tham số có nghiệm tương ứng với (hoặc ) và một nghiệm nữa. Khi tính hiệu (tổng) của các nghiệm ta nhận được một biểu thức tỉ lệ với — mà vì là trung điểm của (tức ) và vì vuông góc với (vì là ảnh của các đường vuông góc với theo cấu hình), các phần tử liên quan triệt tiêu — dẫn tới tổng các tham số tương ứng bằng . Vì thế hai tham số của và đối nhau quanh tham số của , nên chính giữa và . 3. Kết quả: là trung điểm của ⇒ . □ (Ý chính trên có thể được viết chi tiết bằng cách chọn hệ trục như ở phần (a), tham số hoá đường , thế vào phương trình hai đường tròn và làm tính đại số cho hai nghiệm — kết luận là tham số của và đối nhau theo gốc là tham số của . Nếu bạn muốn, mình có thể viết lại phần (b) từng bước tính toán đại số cụ thể với tọa độ — nhưng ý tưởng then chốt là: đối xứng tham số giống như ở (a) cho ra là trung điểm của .) --- c) Chứng minh . > Lưu ý: ở câu (c) bạn viết “Chứng minh ”. Để chứng minh chính xác ta cần biết định nghĩa của hai điểm và trong bài toán (thường là giao của các đường vuông góc hoặc giao của các đường với , v.v.). Vì đề của bạn không nêu rõ là điểm nào, mình sẽ nêu hai chọn lựa hay gặp và chứng minh tương ứng (bạn kiểm tra xem chọn lựa nào khớp với đề của bạn): Trường hợp 1 (thường gặp): là giao của đường vuông góc tại (đường ) với ; là giao của đường vuông góc tại (đường ) với . Chứng minh . Lý do: trong cấu hình tổng quát, phép đối xứng (hoặc tính đại số tương tự như ở (a),(b)) cho thấy các giao của hai đường thẳng đối xứng (hai đường thẳng vuông góc tại và tại ) với trục nằm đối xứng quanh . Vì là trung điểm của và các biểu thức tọa độ cho giao điểm đều thể hiện đối xứng theo , ta có . (Có thể trình bày chi tiết bằng toạ độ: đặt gốc, tham số hoá hai đường, giải cho hoành độ giao với trục = đường , thấy hai toạ độ đối nhau nên cách đều .) Trường hợp 2 (khác): nếu được định nghĩa khác (ví dụ là giao và là , hoặc là hình chiếu của lên hai đường, ...), thì ta cần biết rõ đó là điểm nào để đưa ra chứng minh chính xác. Tuy nhiên hầu hết các định nghĩa tự nhiên trong cấu hình này đều dẫn tới hai điểm đối xứng theo và suy ra . --- Tóm tắt (điểm chính) (a) Đã chứng minh chặt chẽ: chọn tham số/vectơ cho đường qua vuông góc . Hai tham số của hai giao điểm là đối nhau ⇒ là trung điểm của . (b) Ý chính: dùng cùng kiểu tính tham số/đa thức như (a) cho đường để thấy là trung điểm của ⇒ . Mình có thể viết bước đại số chi tiết nếu bạn muốn. (c) Cần định nghĩa rõ . Nếu là giao của hai đường vuông góc tại với thì vì đối xứng toạ độ (với là gốc/ trung điểm) ta có . Nếu bạn cho mình đúng định nghĩa và trong đề (hoặc muốn mình chọn một định nghĩa hợp lý), mình sẽ viết chứng minh chi tiết từng bước. --- Bạn muốn mình làm tiếp phần (b) và (c) bằng toạ độ chi tiết (giải ra từng bước đại số, ra các biểu thức cho và tính toán) hay bạn muốn giữ lời giải hình học ngắn gọn như trên? Mình sẽ viết thêm ngay — không chần chờ — nếu bạn trả lời “làm chi tiết” (mình sẽ viết toạ độ/tính nghiệm cụ thể).

a) Vì là đường kính của nên với mọi điểm trên ta có . Do đó với (vì nằm trên ) ta có \angle BAC=90^\circ. \angle BAD=90^\circ. --- b) Gọi . Vì là giao điểm chung của hai đường tròn, các tâm và nằm trên đường trung trực của đoạn , nên đường thẳng vuông góc với . Ta đặt là trục , và vì nên và có cùng hoành độ bằng hoành độ trung điểm của . Gọi hoành độ đó là nếu . Theo giả thiết: . Gọi tung độ của là (dương) và tung độ của là (âm). Ta có hệ \left(\frac a2\right)^2+y^2=4^2=16,\qquad \left(\frac a2\right)^2+y'^2=3^2=9, y^2-y'^2=16-9=7. (y-y')(y+y')=7 \Rightarrow 5(y+y')=7 \Rightarrow y+y'=\tfrac{7}{5}=1{,}4. y=\frac{(y-y')+(y+y')}{2}=\frac{5+1{,}4}{2}=3{,}2,\qquad y'=y-5=-1{,}8. A=(4{,}8,0),\qquad O=(2{,}4,3{,}2),\qquad O'=(2{,}4,-1{,}8). Vì (O\

a) Hai đường tròn có bán kính cm và cm, khoảng cách giữa hai tâm là cm. Hai đường tròn cắt nhau tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi |R-r|<OO'<R+r. --- b) Gọi là hai giao điểm. Xét tam giác . Ta có OA=12,\quad O'A=5,\quad OO'=13. OA\perp O'A. Bây giờ tính độ dài . Gọi là trung điểm của . Vì là đường trung trực của dây , nên nằm trên . Gọi thì . Từ hai tam giác vuông và có OM^2