Vì AC bằng bán kính đường tròn, và OA cũng là bán kính, nên AC = OA Xét tam giác △OAC, ta có OA = OC (bán kính). Do đó, △OAC là tam giác cân. Vì AC = OA = OC, nên △OAC là tam giác đều. Trong tam giác đều △OAC, tất cả các góc đều bằng 60°. Do đó, LAOC = 60° và ZOAC = 60°Góc ở tâm chắn cung AC là LAOC = 60° Góc nội tiếp chắn cung AC là ∠ABC. Ta có mối quan hệ giữa góc ở tâm và góc nội tiếp cùng chắn 1 một cung: ∠ABC = 1/2 ∠AOC 2 Vậy ∆ ABC = 1/2 × 60° = 30°

Trong tam giác ABC, tổng ba góc là 180°. Ta đã biết angle BAC = 60°và ∆ABC = 30°

Do đó, ∠ACB = 180° - ∠BAC - ∠ABC Ngoài ra, vì AB là đường kính của đường tròn, góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là góc vuông nên ∆ ACB = 90° Kết luận các góc của △ABC Các góc của tam giác ABC là ∆BAC = 60° , ∆ABC = 30° và ∆ ACB = 90 °

Vì A' thuộc đường tròn (O;r) nên OA' = r . Vì A thuộc đường tròn (O; R) nên OA = R Tương tự, B' thuộc đường tròn (O;r) nên OB' = r . Vì B thuộc đường tròn (O; R) nên OB = R Do đó, và Vậy, (OA')/(OA) = (OB')/(OB) (OA')/(OA) = r/R (OB')/(OB) =r/R vậy OA'/OA = OB'/OB

Chứng minh AB|| A' * B' Xét tam giác OAB và tam giác O * A' * B' . Ta có: (chứng minh trên) ∆AOB = ∆A'OB' (vì Ο, Α, A' thẳng hàng và O, B, B' thẳng hàng)

Vậy, △OAB ~ △OA'B' (theo trường hợp cạnh-góc-cạnh). Do đó, ∠OAB = ∠OA'B' (hai góc tương ứng). Mà hai góc này ở vị trí đồng vị nên AB//A'B'

cùng thuộc một đường tròn. Vì ABCD là hình chữ nhật, nên ∆ ADC = ∆ABC = 90 ° Xét hai tam giác vuông ADC và ABC, ta thấy chúng có chung cạnh AC. Do đó, A, B, C, D cùng thuộc một đường tròn đường kính AC. Áp dụng định lý Pytago vào tam giác vuông ADC, ta có: AC ² = AD² + DC² = 18² + 12 ²= AC = √(468) = 6 √(13) cm Bán kính của đường tròn là: cm R = AC/2 = (6√(13))/2 = 3√(13) cm

Vì C và D là giao điểm của hai đường tròn (A; 6cm) và (B; 4cm), ta có: CA = 6cm (bán kính đường tròn tâm A) CB = 4cm (bán kính đường tròn tâm B) DA = 6cm (bán kính đường tròn tâm A) DB = 4cm (bán kính đường tròn tâm B) I là giao điểm của đường tròn (A;6cm) với đoạn thẳng AB, nên Al = 6cm. Vì AB = 8cm ta có IB = AB - AI = 8cm - 6cm = 2cm Vì AI ≠ IB (6cm = 2cm), I không phải là trung điểm của AB.K là giao điểm của đường tròn (B; 4cm) với đoạn thẳng AB, nên BK = 4cm.

Điểm P đối xứng với M qua đường thẳng AB là điểm sao cho AB là đường trung trực của đoạn thẳng MP. Điều này có nghĩa là AB vuông góc với MP tại trung điểm của MP. Để tìm điểm P, ta vẽ đường thẳng vuông góc với AB và đi qua M. Giao điểm của đường thẳng này với AB là trung điểm của MP. Kéo dài đường thẳng vuông góc này về phía bên kia của AB một đoạn bằng khoảng cách từ M đến AB. Điểm cuối của đoạn kéo dài này là điểm P

a) Điểm A di động trên đường tròn tâm B bán kính 4cm. Điểm A luôn cách điểm B một khoảng không đổi là 4cm (AB = 4cm). Tập hợp các điểm cách một điểm cố định (điểm B) một khoảng không đổi (4cm) là một đường tròn. Điểm A di động trên đường tròn tâm B bán kính 4cm. b) Gọi I là trung điểm của BC. Vì M là trung điểm của AC, ta có IM là đường trung bình của tam giác ABC. Do đó, IM = AB/2 = 4/2 = 2cm. Vì BC cố định nên I là điểm cố định. Vậy M luôn cách điểm I một khoảng không đổi là 2cm. Tập hợp các điểm cách một điểm cố định (điểm 1) một khoảng không đổi (2cm) là một đường tròn. Trung điểm M của AC di động trên đường tròn tâm I bán kính 2cm, với I là trung điểm của BC.

a ) Vì M là trung điểm của AB nên AM = MB. Xét tam giác OAB có OA = OB = R (bán kính đường tròn (O)), suy ra tam giác OAB cân tại O. Trong tam giác cân OAB, OM là đường trung tuyến (vì M là trung điểm AB) nên OM cũng là đường cao. Do đó, OM vuông góc với AB tại M. Vậy OM là đường trung trực của đoạn thẳng AB b ) Khoảng cách từ 0 đến AB là độ dài đoạn OM. VÌ OM vuông góc với AB tại M, ta có tam giác OMA vuông tại M. Áp dụng định lý Pytago vào tam giác OMA, ta có: OA2 = OM2+ AM2 OM² = OA2 - AM2 Ta có OA = R = 5cm và AM = AB/2 = 8/2 = 4cm. Thay số vào, ta được: OM25242 = 25 - 16 9 OM = √93cm.

Vì C nằm trên đường tròn ( O; 2cm) nên OC = 2 cm

Do đó O nằm trên đường tròn ( C ; 2 cm)

Vì C nằm trên đường tròn ( A ; 2 cm)

Nên AC = 2cm

Do đó , A nằm trên đường tròn ( C ; 2cm )