Chào bạn! Đây là một bài toán nâng cao rất hay về ứng dụng tọa độ trong hình học. Chúng ta sẽ giải quyết bài toán này bằng cách sử dụng công thức diện tích và tính chất của tiếp tuyến.

a) Tính diện tích tam giác $OAB$

Để tính diện tích tam giác $OAB$ với $O(0;0)$, $A(-1;1)$ và $B(3;9)$, cách nhanh nhất là sử dụng công thức tọa độ:

Thay số vào:

b) Xác định điểm $C$ để diện tích tam giác $ABC$ lớn nhất

Điểm $C$ nằm trên cung nhỏ $AB$ của Parabol $(P)$. Trong tam giác $ABC$, cạnh $AB$ là cố định, do đó diện tích $S_{ABC}$ lớn nhất khi khoảng cách từ $C$ đến đường thẳng $AB$ là lớn nhất.

1. Viết phương trình đường thẳng $AB$:

Đường thẳng $AB$ có dạng $y = ax + b$.

• Đi qua $A(-1;1) \Rightarrow 1 = -a + b$
• Đi qua $B(3;9) \Rightarrow 9 = 3a + b$
  Giải hệ phương trình này, ta được $a = 2$ và $b = 3$. Vậy $(AB): y = 2x + 3$.

2. Tìm vị trí điểm $C$:

Khoảng cách từ $C$ đến $AB$ lớn nhất khi tại $C$, tiếp tuyến của Parabol song song với đường thẳng $AB$.

• Hệ số góc của đường thẳng $AB$ là $k = 2$.
• Gọi tọa độ $C(x_0; x_0^2)$. Đạo hàm của hàm số $y = x^2$ là $y' = 2x$.
• Tại điểm $C$, hệ số góc của tiếp tuyến là $y'(x_0) = 2x_0$.

Để tiếp tuyến song song với $AB$, ta có:

3. Tọa độ điểm $C$:

Với $x_0 = 1$, ta có $y_0 = 1^2 = 1$.

Kết luận: Điểm $C$ cần tìm là $C(1; 1)$.

b) Tìm tọa độ giao điểm bằng phép tính

Để tìm tọa độ giao điểm của $(P)$ và $(d)$, ta lập phương trình hoành độ giao điểm:

Giải phương trình bậc hai:

Ta có các hệ số: $a = 1, b = -1, c = -2$.

Nhận xét: $a - b + c = 1 - (-1) + (-2) = 1 + 1 - 2 = 0$.

Theo định lý về nhẩm nghiệm:

• Nghiệm thứ nhất: $x_1 = -1$
• Nghiệm thứ hai: $x_2 = \frac{-c}{a} = \frac{-(-2)}{1} = 2$

Tìm tung độ $y$ tương ứng:

• Với $x_1 = -1 \Rightarrow y_1 = (-1)^2 = 1$. Ta có điểm $A(-1; 1)$.
• Với $x_2 = 2 \Rightarrow y_2 = (2)^2 = 4$. Ta có điểm $B(2; 4)$.

Kết luận:

Tọa độ giao điểm của Parabol $(P)$ và đường thẳng $(d)$ là $(-1; 1)$ và $(2; 4)$.

Chào bạn! Đây là một bài toán thú vị kết hợp giữa kỹ năng vẽ đồ thị và giải phương trình dựa trên điều kiện bài toán. Chúng ta cùng giải quyết từng phần nhé.

a) Vẽ đồ thị Parabol $(P): y = 2x^2$

Để vẽ đồ thị $(P)$ chính xác, chúng ta cần xác định một số điểm đặc trưng. Vì $a = 2 > 0$, Parabol sẽ có bề lõm hướng lên trên và nhận trục $Oy$ làm trục đối xứng.

Bảng giá trị:

b) Tìm các điểm có tung độ gấp hai lần hoành độ

Giả sử điểm cần tìm là $M(x_0; y_0)$. Vì điểm $M$ thuộc Parabol $(P)$ nên ta có:

Theo đề bài, điểm $M$ có tung độ gấp hai lần hoành độ, nghĩa là:

Giải hệ phương trình:

Từ $(1)$ và $(2)$, ta có phương trình hoành độ:

Phương trình này có hai nghiệm:

1. $x_0 = 0$
2. $x_0 = 1$

Tìm tọa độ tương ứng:

• Với $x_0 = 0 \Rightarrow y_0 = 2(0) = 0$. Ta được điểm $O(0; 0)$ (Đây là gốc tọa độ).
• Với $x_0 = 1 \Rightarrow y_0 = 2(1) = 2$. Ta được điểm $M(1; 2)$.

Kết luận:

Vì đề bài yêu cầu tìm điểm khác gốc tọa độ $O$, nên điểm duy nhất thỏa mãn yêu cầu là $(1; 2)$.

Với bài toán này, chúng ta có một Parabol $(P)$ úp xuống (vì hệ số $a$ âm) và một đường thẳng $(d)$ có độ dốc khá lớn. Dưới đây là các bước giải chi tiết:

a) Vẽ đồ thị Parabol $(P): y = -x^2$

Để vẽ đồ thị $(P)$, ta lập bảng giá trị với các điểm đối xứng qua trục tung $Oy$:

Đặc điểm đồ thị:

• Đồ thị đi qua gốc tọa độ $O(0;0)$.
• Vì hệ số $a = -1 < 0$ nên Parabol nằm hoàn toàn phía dưới trục hoành và có điểm cao nhất là đỉnh $O$.

b) Tìm tọa độ giao điểm của $(P)$ và $(d)$ bằng phép tính

Bước 1: Lập phương trình hoành độ giao điểm

Cho vế phải của $(P)$ bằng vế phải của $(d)$:

Bước 2: Giải phương trình bậc hai

Ta có các hệ số: $a = 1, b = 5, c = 6$.

Tính biệt thức $\Delta$:

Vì $\Delta > 0$, phương trình có hai nghiệm phân biệt:

• $x_1 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-5 + 1}{2} = \frac{-4}{2} = -2$
• $x_2 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-5 - 1}{2} = \frac{-6}{2} = -3$

Bước 3: Tìm tung độ tương ứng

• Với $x_1 = -2 \Rightarrow y_1 = -(-2)^2 = -4$. Ta có điểm $A(-2; -4)$.
• Với $x_2 = -3 \Rightarrow y_2 = -(-3)^2 = -9$. Ta có điểm $B(-3; -9)$.

Kết luận:

Tọa độ các giao điểm của $(P)$ và $(d)$ là $(-2; -4)$ và $(-3; -9)$.

Để tìm giao điểm, ta thiết lập phương trình hoành độ giao điểm:

Giải phương trình bậc hai này:

Ta có các hệ số: $a = 2, b = -1, c = -1$.

Nhận xét nhanh: $a + b + c = 2 + (-1) + (-1) = 0$.

Theo định lý về nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai:

• Nghiệm thứ nhất: $x_1 = 1$
• Nghiệm thứ hai: $x_2 = \frac{c}{a} = \frac{-1}{2}$

Tìm tung độ $y$ tương ứng:

• Với $x_1 = 1 \Rightarrow y_1 = 2(1)^2 = 2$. Ta có điểm $A(1; 2)$.
• Với $x_2 = -\frac{1}{2} \Rightarrow y_2 = 2(-\frac{1}{2})^2 = 2 \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{2}$. Ta có điểm $B(-\frac{1}{2}; \frac{1}{2})$.

Kết luận: Tọa độ giao điểm của $(P)$ và $(d)$ là $(1; 2)$ và $(-\frac{1}{2}; \frac{1}{2})$.

b) Tìm tọa độ giao điểm bằng phép tính

Để tìm tọa độ giao điểm, chúng ta lập phương trình hoành độ giao điểm:

Nhân cả hai vế với 4 để triệt tiêu mẫu số:

Giải phương trình bậc hai:

Ta có $a = 1, b' = 1, c = -8$.

Nghiệm của phương trình là:

• $x_1 = \frac{-b' + \sqrt{\Delta'}}{a} = \frac{-1 + 3}{1} = 2$
• $x_2 = \frac{-b' - \sqrt{\Delta'}}{a} = \frac{-1 - 3}{1} = -4$

Tìm tung độ tương ứng:

• Với $x_1 = 2 \Rightarrow y_1 = \frac{1}{4} \cdot 2^2 = 1 \Rightarrow$ Tọa độ thứ nhất: $(2; 1)$
• Với $x_2 = -4 \Rightarrow y_2 = \frac{1}{4} \cdot (-4)^2 = 4 \Rightarrow$ Tọa độ thứ hai: $(-4; 4)$

Kết luận: Tọa độ giao điểm của $(P)$ và $(d)$ là $(2; 1)$ và $(-4; 4)$.

Ta có: AI+IO=AO

=>\(I O = A O - A I = \frac{1}{3} R\)

Xét (O) có

ΔCED nội tiếp

CD là đường kính

Do đó: ΔCED vuông tại E

Xét ΔCOI vuông tại O và ΔCED vuông tại E có

\(\hat{O C I}\) chung

Do đó: ΔCOI~ΔCED
=>\(\frac{O I}{E D} = \frac{C O}{C D}\)

=>\(\frac{\frac{1}{3} R}{E D} = \frac{1}{2}\)

=>\(E D = \frac{1}{3} R \cdot 2 = \frac{2}{3} R\)

ΔCED vuông tại E

=>\(C E^{2} + E D^{2} = C D^{2}\)

=>\(C E = \sqrt{\left(\left(\right. 2 R \left.\right)\right)^{2} - \left(\left(\right. \frac{2}{3} R \left.\right)\right)^{2}} = \sqrt{4 R^{2} - \frac{4}{9} R^{2}} = \sqrt{\frac{32}{9} R^{2}} = \frac{4 \sqrt{2}}{3} \cdot R\)

Bd*dc

IG=1cm

R=2 cm