1.33−1​+3.55−3​+5.77−5​+…+99.101101−99​

\(= \frac{3}{1.3} - \frac{1}{1.3} + \frac{5}{3.5} - \frac{3}{3.5} + \frac{7}{5.7} - \frac{5}{5.7} + \ldots + \frac{101}{99.101} - \frac{99}{99.101}\) 

\(= 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{5} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \ldots + \frac{1}{99} - \frac{1}{101}\)

\(= 1 - \frac{1}{101} = \frac{100}{101}\)

Vậy \(\frac{2}{1.3} + \frac{2}{3.5} + \frac{2}{5.7} + \ldots + \frac{2}{99.101} = \frac{100}{101}\).

1)

a) Tập hợp các điểm thuộc đoạn thẳng \(B D\) là \(B ; C ; D\), tập hợp các điểm thuộc không đoạn thẳng \(B D\) là \(A ; E\).

b) Cặp đường thẳng song song là \(A B\) // \(D E\).

c) Gợi ý: Liệt kê theo các giao điểm, có 5 giao điểm nên có 5 cặp đường thẳng cắt nhau.

Các cặp đường thẳng cắt nhau là

\(A B\) và \(A E\) cắt nhau tại \(A\).

\(B A\) và \(B D\) cắt nhau tại \(B\).

\(A E\) và \(B D\) cắt nhau tại \(C\).

\(D E\) và \(D B\) cắt nhau tại \(D\).

\(E A\) và \(E D\) cắt nhau tại \(E\).

2)

Độ dài của đoạn thẳng \(A B\) là:

\(6 - 4 = 2\) (cm)

Độ dài đoạn thẳng \(A M\) là:

\(2 : 2 = 1\) (cm)

Độ dài đoạn thẳng \(O M\) là:

\(4 + 1 = 5\) (cm)

Đáp số: \(5\) cm.

a) So sánh ba phân số, ta được

\(\frac{5}{27} < \frac{2}{9} < \frac{1}{3}\)

Vậy trong một giờ, đội thứ ba làm được ít phần công việc nhất, đội thứ hai làm được nhiều công việc nhất.

b) Nếu làm trung, cả ba đội làm được

\(\frac{5}{27} + \frac{2}{9} + \&\text{nbsp}; \frac{1}{3} = \frac{20}{27}\) (công việc)

a) \(x - \frac{2}{3} = \frac{- 5}{12}\)

\(x = \frac{- 5}{12} + \frac{2}{3}\)

\(x = \frac{- 5}{12} + \frac{8}{12}\)

\(x = \frac{- 5 + 8}{12}\)

\(x = \frac{3}{12}\)

\(x = \frac{1}{4}\)

b) \(\frac{8}{5} : x = \frac{- 2}{3}\)

\(x = \frac{8}{5} : \left(\right. \&\text{nbsp}; \frac{- 2}{3} \left.\right)\)

\(x = \frac{8}{5} . \&\text{nbsp}; \left(\right. \&\text{nbsp}; \frac{3}{- 2} \left.\right)\)

\(x = \frac{- 12}{5}\)

c) \(1 - \frac{3}{7} . x = - \frac{2}{7}\)

\(\frac{3}{7} . x = 1 - \left(\right. - \frac{2}{7} \left.\right)\)

\(\frac{3}{7} . x = \frac{9}{7}\)

\(x = \frac{9}{7} : \frac{3}{7}\)

\(x = \frac{9}{7} . \frac{7}{3}\)

\(x = 3\)

a) \(\frac{- 2}{7} + \frac{2}{7} : \frac{3}{5}\)

\(= \frac{- 2}{7} + \frac{2}{7} . \frac{5}{3}\)

\(= \frac{- 2}{7} + \frac{10}{21}\)

\(= \frac{- 6}{21} + \frac{10}{21}\)

\(= \frac{4}{21}\)

b)\(\frac{- 8}{19} + \frac{- 4}{21} - \frac{17}{21} + \frac{27}{19}\)

\(= \frac{- 8}{19} + \frac{- 4}{21} + \frac{- 17}{21} + \frac{27}{19}\)

\(= \left(\right. \frac{- 8}{19} + \frac{27}{19} \left.\right) + \left(\right. \frac{- 4}{21} + \frac{- 17}{21} \&\text{nbsp}; \left.\right)\)

\(= \frac{- 8 + 27}{19} + \frac{\left(\right. - 4 \left.\right) + \left(\right. - 17 \left.\right)}{21}\)

\(= \frac{19}{19} + \frac{- 21}{21}\)

\(= 1 - 1 = 0\)

c) \(\frac{6}{5} . \frac{3}{13} - \frac{6}{5} . \frac{16}{13}\)

\(= \frac{6}{5} . \left(\right. \frac{3}{13} - \frac{16}{13} \&\text{nbsp}; \left.\right)\)

\(= \frac{6}{5} . \left(\right. \frac{3 - 16}{13} \left.\right)\)

\(= \frac{6}{5} . \left(\right. \frac{- 13}{13} \left.\right)\)

\(= \frac{6}{5} . \left(\right. - 1 \left.\right)\)

\(= \frac{- 6}{5} .\)

Để chứng minh phân số tối giản, ta chứng minh ƯCLN của tử số và mẫu số là \(1\).

Goi ƯCLN \(\left(\right. n - 1 ; n - 2 \left.\right) = d \Rightarrow n - 1 : d\) và \(n - 2 : d\) 

\(\Rightarrow \left(\right. n - 1 \left.\right) - \left(\right. n - 2 \left.\right) : d \Rightarrow 1 : d\)

\(\Rightarrow d = 1\) với mọi \(n\).

Vậy với mọi \(n \in \mathbb{Z}\) thì \(M = \frac{n - 1}{n - 2}\) là phân số tối giản.

Để chứng minh phân số tối giản, ta chứng minh ƯCLN của tử số và mẫu số là \(1\).

Goi ƯCLN \(\left(\right. n - 1 ; n - 2 \left.\right) = d \Rightarrow n - 1 : d\) và \(n - 2 : d\) 

\(\Rightarrow \left(\right. n - 1 \left.\right) - \left(\right. n - 2 \left.\right) : d \Rightarrow 1 : d\)

\(\Rightarrow d = 1\) với mọi \(n\).

Vậy với mọi \(n \in \mathbb{Z}\) thì \(M = \frac{n - 1}{n - 2}\) là phân số tối giản.

1. Trong hình vẽ có 4 bộ ba điểm thẳng là: 

+) \(A , C , D\)

+) \(A , B , E\)

+) \(C , E , F\)

+) \(D , E , B\)

2.

a) Theo hình vẽ, ta có: \(A I + I B = A B\)

Hay \(4 + I B = 9\)

\(I B = 9 - 4 = 5\) cm

b) Vì \(E\) là trung điểm của \(I B\) nên

\(E I = E B = \frac{I B}{2} = \frac{5}{2} = 2 , 5\) (cm)

Theo hình vẽ, ta có: \(A E = A I + I E = 4 + 2 , 5 = 6 , 5\) (cm)

Chiều dài đám đất là:

\(60. \frac{4}{3} = 80\) (m)

Diện tích đám đất là:

\(60.80 = 4 800\) (m\(^{2}\))

Diện tích trồng cây là:

\(4 800. \frac{7}{12} = 2 800\) (m\(^{2}\))

Diện tích còn lại là:

\(4 800 - 2 800 = 2 000\) (m\(^{2}\))

Diện tích ao cá:

\(2 000.30 \% = 600\) (m\(^{2}\))

a) \(\frac{- 5}{9} + \frac{8}{15} + \frac{- 2}{11} + \frac{4}{- 9} + \frac{7}{15} = \left(\right. \frac{- 5}{9} + \frac{- 4}{9} \left.\right) + \left(\right. \frac{8}{15} + \frac{7}{15} \left.\right) + \frac{- 2}{11}\)

\(= \frac{- 9}{9} + \frac{15}{15} + \frac{- 2}{11}\)

\(= - 1 + 1 + \frac{- 2}{11}\)

\(= 0 + \frac{- 2}{11} = \frac{- 2}{11}\).

b) \(\left(\right. \frac{7}{2} . \frac{5}{6} \left.\right) + \left(\right. \frac{7}{6} : \frac{2}{7} \left.\right)\)

\(= \left(\right. \frac{7}{2} . \frac{5}{6} \left.\right) + \left(\right. \frac{7}{6} . \frac{7}{2} \left.\right)\)

\(= \frac{7}{2} . \left(\right. \frac{5}{6} + \frac{7}{6} \left.\right)\)

\(= \frac{7}{2} . 2\)

\(= 7\)