a, Vì AH, CK vuông góc với BD suy ra AH // CK

Vì ABCD là hình bình hành suy ra AD = BC; AD // BC

Xét Δ ADH và Δ CBK có

góc AHD = góc CKB = 90 độ (gt)

AD = BC (cmt)

góc ADH= góc CBK ( vì AD //BC)

=> Δ ADH = Δ CBK (ch-gn)

=> AH =CK ( 2 cạnh tương ứng)

mà AH // CK (cmt) suy ra AHCK là hình bình hành

b, Vì AHCK là hình bình hành nên hai đường chéo HK và AC cắt nhau tại trung điểm

mà I là trung điểm của HK suy ra I là trung điểm AC

Vì ABCD là hình bình hành nên hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại trung điểm suy ra I là trung điểm BD hay IB = ID

a, Vì ABCD là hình bình hành nên suy ra AD = BC ; AD // BC

mà E, F là trung điểm của AD , BC

suy ra AE=ED=BF=FC

Xét tứ giác EBFD có

ED =FB (cmt)

ED // FB ( vì AD //CB)

Do đó, tứ giác EBFD là hình bình hành

b, Vì ABCD là hình bình hành nên suy ra O là trung điểm của AC và BD

mà EBFD là hình bình hành suy ra O cũng là trung điểm EF

Do đó, E,O,F thẳng hàng

Ta có : Δ ABC có hai đường trung tuyến BM và CN cắt nhau tại G

suy ra G là trọng tâm của tam giác

=> BG = 2/3 BM ; GM = 1/3 BM (1)

mà PG = 1/2 BG =1/2 .2/3 BM = 1/3 BM (2)

Từ (1), (2) suy ra GM = PG

Ta có : Δ ABC có hai đường trung tuyến BM và CN cắt nhau tại G

suy ra G là trọng tâm của tam giác

Ta có : ΔABC có hai đường trung tuyến BM và CN cắt nhau tại G

suy ra G là trọng tâm của tam giác

=> CG=32​CN,GN=31​CN (3)

mà \(Q G = \frac{1}{2} C G = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} C N = \frac{1}{3} C N\) (4)

Từ (3), (4) suy ra \(Q G = G N\).

Vậy ta có \(G M = P G\) và \(Q G = G N\).
Suy ra G là trung điểm của cả PM và QN.
Do đó hai đường chéo \(P M , Q N\) cắt nhau tại trung điểm ⇒ \(P Q M N\) là hình bình hành.

a) Vì ABCD là hình bình hành nên AB = CD; AB // CD.

Mà hai điểm B, C lần lượt là trung điểm AE, DF.

Suy ra AE = DF; AB = BE = CD = CF.

Tứ giác AEFD có AE // DF (vì AB // CD); AE = DF (chứng minh trên).

Do đó tứ giác AEFD là hình bình hành.

Tứ giác ABFC có AB // CF (vì AB // CD); AB = CF (chứng minh trên).

Do đó tứ giác ABFC là hình bình hành.

b) Vì AEFD là hình bình hành nên AF cắt ED tại trung điểm mỗi đường.

Vì ABFC là hình bình hành nên AF cắt BC tại trung điểm mỗi đường.

Vậy ba trung điểm của AF, DE, BC trùng nhau.

a, Vì ABCD là hình bình hành nên AB // CD , AB = CD suy ra AE // CD , AE =EB=DF=FC

Do đó, tứ giác AEFD là hình bình hành

Vì ABCD là hình bình hành nên AB // CD , AB = CD suy ra AE // CF , AE =EB=DF=FC

Do đó, tứ giác AECF là hình bình hành

b, Vì AEFD là hình bình hành nên AD = EF

Vì AECF là hình bình hành nên AF = EC

Vì ABCD là hình bình hành nên ta có

Hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O nên OA=OC , OB=OD

AB // CD nên AM // CN suy ra góc OAM = góc OCN ( 2 góc SLT )
Xét ΔOAM và  \(\Delta\)OCN có

góc OAM = góc OCN (cmt)

OA =OC (cmt)

góc AOM = góc CON ( 2 góc đối đỉnh )

=> ΔOAM = \(\Delta\)OCN ( g.c.g )

=> AM = CN ( 2 cạnh tương ứng )

mà AB = CD (cmt) ; AB = AM + BM ; CD = CN + DN

suy ra BM =DN

Xét tứ giác MBND có

BM // DN ( Vì AB // CD )

BM = DN (cmt)

Do đó, tứ giác MBND là hình bình hành