• t𝑡: thời gian (giây).
• hℎ: độ c
• Dựa vào các dữ kiện bài toán cho, ta có các điểm thuộc đồ thị hàm số:Lúc bắt đầu (𝑡=0): Quả bóng được đá lên từ độ cao 1m.⇒ℎ(0)=𝑎(0)2+𝑏(0)+𝑐=1⇒𝐜=𝟏.Sau 1 giây (𝑡=1): Độ cao đạt 8,5m.⇒ℎ(1)=𝑎(1)2+𝑏(1)+1=8,5⇒𝑎+𝑏=7,5(1).Sau 2 giây (𝑡=2): Độ cao đạt 6m.⇒ℎ(2)=𝑎(2)2+𝑏(2)+1=6⇒4𝑎+2𝑏=5(2).Giải hệ phương trình gồm (1) và (2):{a+b=7,54a+2b=5 ⇒{a=-5b=12,5 𝑎+𝑏=7,54𝑎+2𝑏=5⇒𝑎=−5𝑏=12,5Vậy hàm số mô tả quỹ đạo của quả bóng là: ℎ(𝑡)=−5𝑡2+12,5𝑡+1.
• Độ cao cao nhất của quả bóng chính là tung độ đỉnh của Parabol.
• Thời điểm đạt độ cao cao nhất: 𝑡 = −𝑏2𝑎 = −12,52×(−5) =1 , 25 (giây).
• Độ cao cao nhất: Thay  𝑡 =1 , 25 vào hàm số  ℎ ( 𝑡 ):
  hmax=-5(1,25)2+12,5(1,25)+1=8,8125(m)ℎ𝑚𝑎𝑥=−5(1,25)2+12,5(1,25)+1=8,8125(m)

• Tâm đường tròn:  𝐼 ( 7 ; 2 ).
• Tiếp tuyến  ( Δ ):  3𝑥 +4𝑦 −9 =0.
• Tính chất: Khoảng cách từ tâm  I𝐼 đến tiếp tuyến  ( Δ ) chính bằng bán kính  R𝑅 của đường tròn.
• Sử dụng công thức tính khoảng cách từ điểm  𝑀 ( 𝑥0 ; 𝑦0 ) đến đường thẳng  𝑎𝑥 +𝑏𝑦 +𝑐 =0:
  d(M,Δ)=|ax0+by0+c|a2+b2𝑑(𝑀,Δ)=|𝑎𝑥0+𝑏𝑦0+𝑐|𝑎2+𝑏2√

• 𝑎 =7 , 𝑏 =2
• 𝑅 =4 ⇒𝑅2 =16

• Tại thời điểm bắt đầu ( 𝑡 =0): Quả bóng được đá lên từ độ cao  1 m ⇒ℎ ( 0 ) =1.
• Sau  11 giây ( 𝑡 =1): Độ cao đạt  8 , 5 m ⇒ℎ ( 1 ) =8 , 5.
• Sau  22 giây ( 𝑡 =2): Độ cao đạt  6 m ⇒ℎ ( 2 ) =6.

1. 𝑎 ( 0 )2 +𝑏 ( 0 ) +𝑐 =1 ⇒𝐜=𝟏
2. 𝑎 ( 1 )2 +𝑏 ( 1 ) +𝑐 =8 , 5 ⇒𝑎 +𝑏 +1 =8 , 5 ⇒𝐚+𝐛=𝟕,𝟓
3. 𝑎 ( 2 )2 +𝑏 ( 2 ) +𝑐 =6 ⇒4𝑎 +2𝑏 +1 =6 ⇒𝟒𝐚+𝟐𝐛=𝟓

• Từ  𝑎 +𝑏 =7 , 5 ⇒𝑏 =7 , 5 −𝑎.
• Thay vào phương trình thứ ba:  4𝑎 +2 ( 7 , 5 −𝑎 ) =5
  ⇔4𝑎 +15 −2𝑎 =5
  ⇔2𝑎 = −10 ⇒𝐚=−𝟓
• Suy ra:  𝑏 =7 , 5 − ( −5 ) =𝟏𝟐,𝟓

• Thời điểm đạt độ cao cực đại:  𝑡 = −𝑏2𝑎 = −12,52×(−5) =12,510 =𝟏,𝟐𝟓(giây)
• Độ cao cực đại:  ℎ ( 1 , 25 ) = −5 ( 1 , 25 )2 +12 , 5 ( 1 , 25 ) +1
  ℎ ( 1 , 25 ) = −5 ( 1 , 5625 ) +15 , 625 +1
  ℎ ( 1 , 25 ) = −7 , 8125 +15 , 625 +1 =𝟖,𝟖𝟏𝟐𝟓(

Độ cao cao nhất mà quả bóng đạt được là 

.

• Tại thời điểm bắt đầu ( 𝑡 =0): Quả bóng được đá lên từ độ cao  1 m ⇒ℎ ( 0 ) =1.
• Sau  11 giây ( 𝑡 =1): Độ cao đạt  8 , 5 m ⇒ℎ ( 1 ) =8 , 5.
• Sau  22 giây ( 𝑡 =2): Độ cao đạt  6 m ⇒ℎ ( 2 ) =6.

1. 𝑎 ( 0 )2 +𝑏 ( 0 ) +𝑐 =1 ⇒𝐜=𝟏
2. 𝑎 ( 1 )2 +𝑏 ( 1 ) +𝑐 =8 , 5 ⇒𝑎 +𝑏 +1 =8 , 5 ⇒𝐚+𝐛=𝟕,𝟓
3. 𝑎 ( 2 )2 +𝑏 ( 2 ) +𝑐 =6 ⇒4𝑎 +2𝑏 +1 =6 ⇒𝟒𝐚+𝟐𝐛=𝟓

• Từ  𝑎 +𝑏 =7 , 5 ⇒𝑏 =7 , 5 −𝑎.
• Thay vào phương trình thứ ba:  4𝑎 +2 ( 7 , 5 −𝑎 ) =5
  ⇔4𝑎 +15 −2𝑎 =5
  ⇔2𝑎 = −10 ⇒𝐚=−𝟓
• Suy ra:  𝑏 =7 , 5 − ( −5 ) =𝟏𝟐,𝟓

Độ cao cao nhất mà quả bóng đạt được chính là tung độ đỉnh của Parabol này.
Công thức tọa độ đỉnh của Parabol  𝑦 =𝑎𝑥2 +𝑏𝑥 +𝑐 là  I(−b2a;−Δ4a)𝐼−𝑏2𝑎;−Δ4𝑎.

• Thời điểm đạt độ cao cực đại:  𝑡 = −𝑏2𝑎 = −12,52×(−5) =12,510 =𝟏,𝟐𝟓(giây)
• Độ cao cực đại:  ℎ ( 1 , 25 ) = −5 ( 1 , 25 )2 +12 , 5 ( 1 , 25 ) +1
  ℎ ( 1 , 25 ) = −5 ( 1 , 5625 ) +15 , 625 +1
  ℎ ( 1 , 25 ) = −7 , 8125 +15 , 625 +1 =𝟖,𝟖𝟏𝟐𝟓(m)

  
  

• Ta có các hệ số:  𝑎 =1,  𝑏 ′ = −1,  𝑐 = −1.
• Tính biệt thức thu gọn:  Δ ′ = ( 𝑏 ′ )2 −𝑎𝑐 = ( −1 )2 −1 ⋅ ( −1 ) =1 +1 =2.
• Vì  Δ ′ >0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt:
  x1=−b′−Δ′a=1−21=1−2𝑥1=−𝑏′−Δ′√𝑎=1−2√1=1−2√ x2=−b′+Δ′a=1+21=1+2𝑥2=−𝑏′+Δ′√𝑎=1+2√1=1+2√ Tam thức bậc hai  𝑓 ( 𝑥 ) =𝑥2 −2𝑥 −1 có hệ số  𝑎 =1 >0.
  Theo quy tắc xét dấu tam thức bậc hai ("trong trái, ngoài cùng"):
  • 𝑓 ( 𝑥 ) <0 (trái dấu với  a𝑎) khi  x𝑥 nằm trong khoảng hai nghiệm.
  • 𝑓 ( 𝑥 ) >0 (cùng dấu với  a𝑎) khi  x𝑥 nằm ngoài khoảng hai nghiệm.
• Dựa vào yêu cầu của bài toán là tìm  x𝑥 để  𝑥2 −2𝑥 −1 <0, ta chọn khoảng giữa hai nghiệm.