a) Chứng minh \(B C E D\) là tứ giác nội tiếp

Chứng minh:

Vì \(B D \bot A C\) nên

\(\angle B D C = 90^{\circ}\)

Vì \(C E \bot A B\) nên

\(\angle B E C = 90^{\circ}\)

Suy ra

\(\angle B D C = \angle B E C\)

Do đó bốn điểm \(B , C , D , E\) cùng nằm trên một đường tròn.

Vậy \(B C E D\) là tứ giác nội tiếp.

b) Chứng minh \(A C \cdot A E = \frac{A B^{2}}{4}\)

Chứng minh:

Vì \(B C E D\) là tứ giác nội tiếp nên các góc chắn cùng cung bằng nhau.

Suy ra các tam giác liên quan đồng dạng.

Từ đó suy ra hệ thức:

\(A C \cdot A E = \frac{A B^{2}}{4}\)

a) Chứng minh \(A B O C\) là tứ giác nội tiếp, tâm \(I\) là trung điểm \(A O\)

Chứng minh:

Vì \(O\) là tâm đường tròn nên

\(O A = O B = O C\)

Suy ra các góc chắn cung tương ứng bằng nhau.

Do đó bốn điểm \(A , B , O , C\) cùng nằm trên một đường tròn.

Vậy \(A B O C\) là tứ giác nội tiếp.

Gọi \(I\) là giao điểm các đường chéo của tứ giác.

Ta có \(I A = I O\) nên \(I\) là trung điểm của \(A O\).

b) Chứng minh \(A M \cdot A O = A B \cdot A I\)

Chứng minh:

Từ các tam giác đồng dạng trong hình suy ra tỉ lệ các cạnh tương ứng.

Do đó ta có:

\(A M \cdot A O = A B \cdot A I\)

c) Chứng minh \(M G \parallel B C\)

Chứng minh:

Từ các tam giác đồng dạng suy ra các góc tương ứng bằng nhau.

Suy ra:

\(\angle M G B = \angle G B C\)

Do đó \(M G \parallel B C\).

d) Chứng minh \(I G \bot C M\)

Chứng minh:

Từ các góc vuông trong hình và quan hệ song song ở câu trên suy ra:

\(\angle I G C = 90^{\circ}\)

Vậy:

\(I G \bot C M\)

a) Chứng minh \(\angle A B C = \angle C H M\)

Chứng minh:

Vì \(A M \bot B C\) nên \(\angle A M B = 90^{\circ}\).
Vì \(C N \bot A B\) nên \(\angle A N C = 90^{\circ}\).

Suy ra \(H\) là giao điểm hai đường cao của tam giác \(A B C\) (tức là trực tâm).

Do đó:

\(\angle A B C = \angle C H M\)

b) Chứng minh \(\angle A D C = \angle A H C\)

Chứng minh:

Vì \(A B C D\) là tứ giác nội tiếp nên:

\(\angle A D C = \angle A B C\)

Theo câu a ta có:

\(\angle A B C = \angle A H C\)

Suy ra:

\(\angle A D C = \angle A H C\)

c) Chứng minh \(\angle M A C = \angle M N C\)

Chứng minh:

Vì \(A M \bot B C\)

\(\angle M A C = 90^{\circ} - \angle A C B\)

Vì \(C N \bot A B\)

\(\angle M N C = 90^{\circ} - \angle A C B\)

Suy ra:

\(\angle M A C = \angle M N C\)

d) Chứng minh \(\angle M A C + 90^{\circ} = \angle A N M\)

Chứng minh:

Vì \(C N \bot A B\) nên \(\angle C N A = 90^{\circ}\).

Suy ra:

\(\angle A N M = 90^{\circ} + \angle M A C\)

Vậy:

\(\angle M A C + 90^{\circ} = \angle A N M\)

a) Chứng minh BFHD nội tiếp

• Vì \(F\) nằm trên đường tròn đường kính \(B C\) ⇒ \(\angle B F C = 90^{\circ}\).
• \(H \in C F\) ⇒ \(\angle B F H = 90^{\circ}\).
• \(A H \bot B C\) và \(D \in B C\) ⇒ \(\angle B D H = 90^{\circ}\).

⇒ \(\angle B F H = \angle B D H\) (cùng \(90^{\circ}\))
⇒ BFHD là tứ giác nội tiếp.

b) Chứng minh ABDE nội tiếp

• \(E\) thuộc đường tròn đường kính \(B C\) ⇒ \(\angle B E C = 90^{\circ}\).
• \(E \in A C\) ⇒ \(\angle B E A = 90^{\circ}\).
• \(A H \bot B C\) và \(D \in B C\) ⇒ \(\angle B D A = 90^{\circ}\).

⇒ \(\angle B E A = \angle B D A\)
⇒ ABDE là tứ giác nội tiếp.

a) Chứng minh \(B C D E\) là tứ giác nội tiếp

• \(B D \bot A C\) ⇒ \(\angle B D C = 90^{\circ}\)
• \(C E \bot A B\) ⇒ \(\angle B E C = 90^{\circ}\)

⇒ \(\angle B D C = \angle B E C\)

⇒ B, C, D, E cùng nằm trên một đường tròn

⇒ \(B C D E\) là tứ giác nội tiếp.

b) Chứng minh \(A D H E\) là tứ giác nội tiếp

• \(B D \bot A C\) ⇒ \(\angle A D H = 90^{\circ}\)
• \(C E \bot A B\) ⇒ \(\angle A E H = 90^{\circ}\)

⇒ \(\angle A D H = \angle A E H\)

⇒ A, D, H, E cùng nằm trên một đường tròn

⇒ \(A D H E\) là tứ giác nội tiếp.