M là trung điểm BC
⇒ \(MC=BC\)

N là trung điểm AD
⇒ \(AN=\frac{AD}{2}\)

Mà \(AD=BC\)
⇒ \(AN=MC\)
⇒ tứ giác AMCN là hình bình hành

\(\rArr\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{NC}\)

Ta có:
\(AN//MB,AN=MB,MN//AB\)
⇒ ABMN là hình bình hành
⇒ I là trung điểm NB
⇒ \(NI=\frac{NB}{2}\) (1)

\(DN//MC,DN=MC,MN//DC\)
⇒ CDNM là hình bình hành
⇒ K là trung điểm MD
⇒ \(DK=\frac{DM}{2}\) (2)

Mà BNDM là hình bình hành
vì \(MN//DC,\) \(BN//MD\) và \(BN=MD\)
⇒ \(ND=BM\) (3)

Từ (1), (2), (3)
⇒ \(\overrightarrow{DK}=\overrightarrow{NI}\)

AB=NM.
Ta có \(A , N\) lần lượt là trung điểm của \(F C , F E\)

\(\Rightarrow \overset{\rightarrow}{A N} = \frac{1}{2} \overset{\rightarrow}{C E} = \frac{1}{2} \overset{\rightarrow}{B C} .\)

Mà \(\overset{\rightarrow}{B M} = \frac{1}{2} \overset{\rightarrow}{B C}\) 

 \(\overset{\rightarrow}{\Rightarrow AN}=\overset{\rightarrow}{B M}\) 

\( \Rightarrow \) Tứ giác \(A N M B\) là hình bình hành \(\Rightarrow \overset{\rightarrow}{N M} = \overset{\rightarrow}{A B}\).

b) \(\overset{\rightarrow}{M K} = \overset{\rightarrow}{N I}\).
Ta có \(I , K\) lần lượt là trung điểm của \(GA\) và \(GD\)

\(\Rightarrow\overset{\rightarrow}{I K}=\frac{1}{2}\overset{\rightarrow}{A D}=\overset{\rightarrow}{A B}=\overset{\rightarrow}{N M}\)

\( \Rightarrow \)  tứ giác \(I N M K\) là hình bình hành nên \(\overset{\rightarrow}{M K} = \overset{\rightarrow}{N I}\).

Có \(H\) là trực tâm của tam giác \(A B C\)
\(\Rightarrow BH\bot AC\)

Có tia \(A O\) cắt đường tròn tâm \(O\) tại \(D\)

\(\Rightarrow AD\) là đường kính của đường tròn tâm \(O .\)

\(\Rightarrow \angle A C D = 90^{\circ}\)
\(\Rightarrow C D \bot A C .\)

\(\Rightarrow HB//CD.\)

Có \(A D\) là đường kính của \(\left(\right. O \left.\right)\)
\(\Rightarrow BD\bot AB.\)

Có \(H\) là trực tâm của \(\triangle A B C\)
\(\Rightarrow CH\bot AB.\)

Từ \(B D \bot A B\) và \(C H \bot A B\)
\(\Rightarrow BD//CH\)

Vì \(HB//CD\) và \(BD//CH\)
\(\Rightarrow H B D C\) là hình bình hành.

\(\Rightarrow H B = C D .\)

Ta có \(G\) là trọng tâm \(\triangle A B C \Rightarrow \overset{\rightarrow}{G A} + \overset{\rightarrow}{G B} + \overset{\rightarrow}{G C} = \overset{\rightarrow}{0}\)
Và \(G\) là trọng tâm \(\triangle AEF\Rightarrow\overset{\rightarrow}{G A}+\overset{\rightarrow}{G E}+\overset{\rightarrow}{G F}=\overset{\rightarrow}{0}\).
\(\Rightarrow \overset{\rightarrow}{G A} + \overset{\rightarrow}{G B} + \overset{\rightarrow}{G C} = \overset{\rightarrow}{G A} + \overset{\rightarrow}{G E} + \overset{\rightarrow}{G F} \Leftrightarrow \overset{\rightarrow}{G B} + \overset{\rightarrow}{G C} = \overset{\rightarrow}{G E} + \overset{\rightarrow}{G F} \Leftrightarrow \overset{\rightarrow}{G C} - \overset{\rightarrow}{G F} = \overset{\rightarrow}{G E} - \overset{\rightarrow}{G B} \Leftrightarrow \overset{\rightarrow}{F C} = \overset{\rightarrow}{B E}\).

Ta có \(B^{'}\) là điểm đối xứng của \(B\) qua \(O\) nên \(B B^{'}\) là một đường kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác \(A B C\).

Ta có: \(O C = \frac{1}{2} B B^{'}\) nên tam giác \(C B B^{'}\) vuông tại \(C\).

Ta có: \({B^{^{\prime}}C\bot BC;AH\bot BC\Rightarrow B^{^{\prime}}C//AH}\)

Tương tự: \(O A = \frac{1}{2} B B^{'}\) nên tam giác \(A B B^{'}\) vuông tại \(A\).

Ta có: \({B^{^{\prime}}A\bot AB;CH\bot AB\Rightarrow B^{^{\prime}}A//CH}\)

Từ (1) và (2) ta có tứ giác \(A H C B^{'}\) là hình bình hành. Suy ra \(\overset{\rightarrow}{A H} = \overset{\rightarrow}{B^{'} C}\).

EF là đường trung bình

\(\rArr\) EF = BC/2

D là trung điểm BC

\(\rArr\) CD=BC/2

Suy Ra EF = CD = BC/2

Mà \(\overrightarrow{EF}\) cùng hướng \(\overrightarrow{CD}\)

\(\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{CD}\)

\(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}\)

\(\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{CD}\)

\(\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}\)

\(\overrightarrow{BO}=\overrightarrow{OD}\)

\(\overrightarrow{DO}=\overrightarrow{OB}\)

\(\overrightarrow{DA}=\overrightarrow{CB}\)

\(\overrightarrow{AO}=\overrightarrow{OC}\)

\(\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{CO}\)