a) \(\overset{\rightarrow}{A B} = \overset{\rightarrow}{N M}\).
Ta có \(A , N\) lần lượt là trung điểm của \(F C , F E\)

\(\Rightarrow \overset{\rightarrow}{A N} = \frac{1}{2} \overset{\rightarrow}{C E} = \frac{1}{2} \overset{\rightarrow}{B C} .\)

Mà \(\overset{\rightarrow}{B M} = \frac{1}{2} \overset{\rightarrow}{B C}\) suy ra \(\overset{\rightarrow}{A N} = \overset{\rightarrow}{B M} \Rightarrow\) tứ giác \(A N M B\) là hình bình hành \(\Rightarrow \overset{\rightarrow}{N M} = \overset{\rightarrow}{A B}\).

b) \(\overset{\rightarrow}{M K} = \overset{\rightarrow}{N I}\).
Ta có \(I , K\) lần lượt là trung điểm của \(G A\) và \(G D \Rightarrow \overset{\rightarrow}{I K} = \frac{1}{2} \overset{\rightarrow}{A D} = \overset{\rightarrow}{A B} = \overset{\rightarrow}{N M} \Rightarrow\) tứ giác \(I N M K\) là hình bình hành nên \(\overset{\rightarrow}{M K} = \overset{\rightarrow}{N I}\).

Vì \(H\) là trực tâm của tam giác \(A B C\)
nên \(H B \bot A C\)
Vì tia \(A O\) cất đường tròn tâm \(O\) tại \(D\)
nên \(A D\) là đường kính của đường tròn tâm \(O\).
\(& \Rightarrow A C D = 9 0^{\circ} \\ & \Leftrightarrow C D \bot A C\)
\(\Rightarrow H B / / C D\)
Chứng minh tương tự \(\Rightarrow B D / / H C\).

Ta có \(B^{'}\) là điểm đối xứng của \(B\) qua \(O\) nên \(B B^{'}\) là một đường kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác \(A B C\).

Ta có: \(O C = \frac{1}{2} B B^{'}\) nên tam giác \(C B B^{'}\) vuông tại \(C\).

Ta có: \(\left{\right. B^{'} C \bot B C \\ A H \bot B C \Rightarrow B^{'} C / / A H\)

Tương tự: \(O A = \frac{1}{2} B B^{'}\) nên tam giác \(A B B^{'}\) vuông tại \(A\).

Ta có: \(\left{\right. B^{'} A \bot A B \\ C H \bot A B \Rightarrow B^{'} A / / C H\)

Từ (1) và (2) ta có tứ giác \(A H C B^{'}\) là hình bình hành. Suy ra \(\overset{\rightarrow}{A H} = \overset{\rightarrow}{B^{'} C}\).

Xét hình bình hành ABCD có AB = DC, AD = BC (cặp cạnh đối)

Có N là trung điểm AD, M là trung điểm BC (GT) => AN = BM (AD = BC)

Mà \(A D = B C \Rightarrow A N = M C \Rightarrow\) Tứ giác \(A M C N\) là hình bình hành \(\Rightarrow \overset{\rightarrow}{A M} = \overset{\rightarrow}{N C}\).

- Chứng minh \(\overset{\rightarrow}{D K} = \overset{\rightarrow}{N I}\).

\(& \&\text{nbsp};\text{Ta}\&\text{nbsp};\text{c} \overset{ˊ}{\text{o}} :\&\text{nbsp}; \left{\right. \begin{matrix}A N / / M B \\ A N = M B \Rightarrow A B M N \&\text{nbsp};\text{l} \overset{ˋ}{\text{a}} \&\text{nbsp};\text{h} \overset{ˋ}{\imath} \text{nh}\&\text{nbsp};\text{b} \overset{ˋ}{\imath} \text{nh}\&\text{nbsp};\text{h} \overset{ˋ}{\text{a}} \text{nh}\&\text{nbsp}; \Rightarrow I \&\text{nbsp};\text{l} \overset{ˋ}{\text{a}} \&\text{nbsp};\text{trung}\&\text{nbsp};đ\text{i}ể\text{m}\&\text{nbsp}; N B \Rightarrow N I = \frac{1}{2} N B \left(\right. 1 \left.\right) . \\ M N / / A B\end{matrix} \\ & \&\text{nbsp};\text{Ta}\&\text{nbsp};\text{c} \overset{ˊ}{\text{o}} :\&\text{nbsp}; \left{\right. \begin{matrix}D N / / M C \\ D N = M C \Rightarrow C D N M \&\text{nbsp};\text{l} \overset{ˋ}{\text{a}} \&\text{nbsp};\text{h} \overset{ˋ}{\imath} \text{nh}\&\text{nbsp};\text{b} \overset{ˋ}{\imath} \text{nh}\&\text{nbsp};\text{h} \overset{ˋ}{\text{a}} \text{nh}\&\text{nbsp}; \Rightarrow K \&\text{nbsp};\text{l} \overset{ˋ}{\text{a}} \&\text{nbsp};\text{trung}\&\text{nbsp};đ\text{i}ể\text{m}\&\text{nbsp}; M D \Rightarrow D K = \frac{1}{2} D M \left(\right. 2 \left.\right) .\&\text{nbsp}; \\ M N / / D C\end{matrix}\)

Dễ thấy \(B N D M\) là hình bình hành do \(\left{\right. B N / / M D \\ B N = M D\) nên \(N D = B M \left(\right. 3 \left.\right)\).

Từ (1),(2),(3) \(\Rightarrow \overset{\rightarrow}{D K} = \overset{\rightarrow}{N I}\).

Xét tam giác ABC có E là trung điểm CA, F là trung điểm AB
Suy ra EF là đường trung bình tam giác ABC

nên EF = 1/2 BC hay |EF| = 1/2 |BC| (1) và EF // CD (EF // BC) hay giá của EF cùng phương với giá của BC (3)

Có D là trung điểm BC, suy ra CD = DC = 1/2 BC

hay |CD| = 1/2 |BC| (2)

Từ (1) và (2) suy ra |EF| = |CD|

mà giá của EF cùng phương với giá của BC (3)
nên EF = CD (dpcm)

Vector AB = Vector DC, Vector AD = Vector BC, Vector BA = Vector CD, Vector CB = Vector DA