chứng minh vector HB = vector CD

hay chứng minh HB = CD ,HB // CD

hay chứng minh HBCD là hình bình hành

hay chứng minh BH // CD và HC // BD

để chứng minh BH // CD

thì kẻ BE đi qua trực tâm H là đường cao vuông góc với AC

=> BE vuông góc AC

và có góc ACD = 90 độ (chắn nửa đường tròn)

Có BH vuông góc với AC , DC vuông góc với AC

=> BH // CD

chứng minh tương tự thì được BD // HC

xét đường tròn tâm O bán kính OB có

góc BAB' = 90 độ (góc nội tiếp chắn nủa đường tròn)

=> B'A vuông góc với AB

góc BCB' = 90 độ (góc nội tiếp chắn nủa đường tròn)

=> B'C vuông góc với BC

có H là trực tâm của tam giác ABC

Gọi D là đường cao của A nối xuống BC (AD vuông góc với BC)

Gọi E là đường cao của C nối xuống AB (CE vuông góc với AB)

Có H là trực tâm của tam giác ABC

=> H là giao của AD và CE

Có AD vuông góc với BC và B'C vuong góc với BC (chứng minh trên )

=> AD // B'C mà có H là giao của AD,CE

=> AH // B'C

chứng minh tương tự , ta có AB' // HC

có AH // B'C và AB' // HC

=> tứ giác AB'CH là hình bình hành

=>AH = B'C

=> vector AH = vector B'C(AH cùng hướng B'C và AH = B'C)

vì M là trung điểm , N là trung điểm

=> MN // AB // DC & MN = AB = CD

Xét tam giác BAM và tam giác MNC có

BM = MC (M là trung điểm BC)

AB = MN

góc ABM = góc NMC (AB // MN ,2 góc đồng vị)

=> tam giác BAM = tam giác MNC (cgc)

=>AM = NC (2 cạnh tương ứng) (1)

&& góc BMA = góc MCN(2 góc tương ứng )

từ góc BMA = góc MCN

=>AM // NC (2)

từ (1) và (2) và AM và NC có cùng hướng

=> vector AM = vector NC

chứng minh tương tự , ta có BN = DM ,BN // DM

xét tứ giác ABMN có AN // BM , AB // MN

=> ABMN là hình bình hành

=> I là giao của hai đường chéo của hình bình hành ABMN

=> IN = 1/2 BN

chứng minh tương tự với tứ giác NMCD, ta có

KD = 1/2 MD

=> DK = NI

lại có BN // DM

=> vector IN và vector DK có cùng phương

có vector IN và vector DK có cùng hướng

và IN = DK

=> vector IN = vector DK

Có E là trung điểm AC , F là trung điểm AB

=> EF là đường trung bình tam giác ABC

=>EF = 1/2 BC

lại có D là trung điểm BC

=> CD = BD = 1/2 BC

=> EF = CD

=> hai vector EF và vector CD có cùng độ dài

Lại có hai vector trên có cùng hướng (gt)

=>vector EF = vector CD

các vector bằng nhau là:

- vector OA = vector CO

-vector OB = vector DO

-vector OC = vector AO

-vector DC = vector AB

-vector CD = vector BA

- vector AD = vector BC

-vector DA = vector CB

-vector BO = vector OD