Ta có \(B^{'}\) là điểm đối xứng của \(B\) qua \(O\) nên \(B B^{'}\) là một đường kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác \(A B C\).

Ta có: \(O C = \frac{1}{2} B B^{'}\) nên tam giác \(C B B^{'}\) vuông tại \(C\).

Ta có: \({B^{^{\prime}}C\bot BCvàAH\bot BC\Rightarrow B^{^{\prime}}C//AH}\)

Tương tự: \(O A = \frac{1}{2} B B^{'}\) nên tam giác \(A B B^{'}\) vuông tại \(A\).

Ta có: \({B^{^{\prime}}A\bot ABvàCH\bot AB\Rightarrow B^{^{\prime}}A//CH}\)

Từ (1) và (2) ta có tứ giác \(A H C B^{'}\) là hình bình hành. Suy ra \(\overset{\rightarrow}{A H} = \overset{\rightarrow}{B^{'} C}\).

Ta có \(G\) là trọng tâm \(\triangle A B C \Rightarrow \overset{\rightarrow}{G A} + \overset{\rightarrow}{G B} + \overset{\rightarrow}{G C} = \overset{\rightarrow}{0}\) (1).
Và \(G\) là trọng tâm \(\Delta A E F \Rightarrow \overset{\rightarrow}{G A} + \overset{\rightarrow}{G E} + \overset{\rightarrow}{G F} = \overset{\rightarrow}{0} \left(\right. 2 \left.\right)\).
Từ (1) và \(\left(\right. 2 \left.\right)\) :
\(\Rightarrow \overset{\rightarrow}{G A} + \overset{\rightarrow}{G B} + \overset{\rightarrow}{G C} = \overset{\rightarrow}{G A} + \overset{\rightarrow}{G E} + \overset{\rightarrow}{G F} \Leftrightarrow \overset{\rightarrow}{G B} + \overset{\rightarrow}{G C} = \overset{\rightarrow}{G E} + \overset{\rightarrow}{G F} \Leftrightarrow \overset{\rightarrow}{G C} - \overset{\rightarrow}{G F} = \overset{\rightarrow}{G E} - \overset{\rightarrow}{G B} \Leftrightarrow \overset{\rightarrow}{F C} = \overset{\rightarrow}{B E}\).

a) \(\overset{\rightarrow}{A B} = \overset{\rightarrow}{N M}\).
Ta có \(A , N\) lần lượt là trung điểm của \(F C , F E\)

\(\Rightarrow \overset{\rightarrow}{A N} = \frac{1}{2} \overset{\rightarrow}{C E} = \frac{1}{2} \overset{\rightarrow}{B C} .\)

Mà \(\overset{\rightarrow}{B M} = \frac{1}{2} \overset{\rightarrow}{B C}\) suy ra \(\overset{\rightarrow}{A N} = \overset{\rightarrow}{B M} \Rightarrow\) tứ giác \(A N M B\) là hình bình hành \(\Rightarrow \overset{\rightarrow}{N M} = \overset{\rightarrow}{A B}\).

b) \(\overset{\rightarrow}{M K} = \overset{\rightarrow}{N I}\).
Ta có \(I , K\) lần lượt là trung điểm của \(G A\) và \(G D \Rightarrow \overset{\rightarrow}{I K} = \frac{1}{2} \overset{\rightarrow}{A D} = \overset{\rightarrow}{A B} = \overset{\rightarrow}{N M} \Rightarrow\) tứ giác \(I N M K\) là hình bình hành nên \(\overset{\rightarrow}{M K} = \overset{\rightarrow}{N I}\).

Vì \(H\) là trực tâm của tam giác \(A B C\)
nên \(H B \bot A C\)
Vì tia \(A O\) cất đường tròn tâm \(O\) tại \(D\)
nên \(A D\) là đường kính của đường tròn tâm \(O\).
\(\Rightarrow ACD=90^{\circ}\\\Leftrightarrow CD\bot AC\)
\(\Rightarrow H B / / C D\)
Chứng minh tương tự \(\Rightarrow B D / / H C\)

Vì \(D , E , F\) lần lượt là trung điểm của \(B C , C A , A B\).

\(\Rightarrow E F\) là đường trung bình \(\triangle A B C\) và \(E F = \frac{1}{2} B C\) (1).
Lại có \(D\) là trung điểm \(B C \Rightarrow C D = \frac{1}{2} C B \left(\right. 2 \left.\right)\).

mà \(\overset{\rightarrow}{E F}\) cùng hướng \(\overset{\rightarrow}{C D} \left(\right. 3 \left.\right)\)

Từ (1), (2), (3) \(\Rightarrow \overset{\rightarrow}{E F} = \overset{\rightarrow}{C D}\)

Ta có: \(\overset{\rightarrow}{A B} = \overset{\rightarrow}{D C} ; \overset{\rightarrow}{B A} = \overset{\rightarrow}{C D} ; \overset{\rightarrow}{A D} = \overset{\rightarrow}{B C} ; \overset{\rightarrow}{D A} = \overset{\rightarrow}{C B} ; \overset{\rightarrow}{A O} = \overset{\rightarrow}{O C} ; \overset{\rightarrow}{O A} = \overset{\rightarrow}{C O} ; \overset{\rightarrow}{O B} = \overset{\rightarrow}{D O} ; \overset{\rightarrow}{B O} = \overset{\rightarrow}{O D}\)