2. Xác định các biến và điều kiện ràng buộc.
   Gọi x là số phút quảng cáo trên sóng phát thanh và y là số phút quảng cáo trên sóng truyền hình.
   Ta có các điều kiện ràng buộc sau:
3. • Chi phí quảng cáo: 800000x + 4000000y ≤ 16000000
   • Thời lượng quảng cáo trên phát thanh: x ≥ 5
   • Thời lượng quảng cáo trên truyền hình: 0 ≤ y ≤ 4
   • x ≥ 0, y ≥ 0 (điều kiện hiển nhiên)
4. Đơn giản hóa các điều kiện ràng buộc.
5. • Chi phí quảng cáo: 800000x + 4000000y ≤ 16000000 => x + 5y ≤ 20
   • x ≥ 5
   • 0 ≤ y ≤ 4
6. Xây dựng hàm mục tiêu.
   Hiệu quả quảng cáo được tính bằng 6y + x (vì hiệu quả trên truyền hình gấp 6 lần trên phát thanh).
   Ta cần tối đa hóa hàm mục tiêu: f(x, y) = x + 6y
7. Xác định các điểm cực trị của miền nghiệm.
   Miền nghiệm được xác định bởi các bất phương trình:
8. • x + 5y ≤ 20
   • x ≥ 5
   1. • 0 ≤ y ≤ 4

   Các điểm cực trị là giao điểm của các đường thẳng:

   • x = 5 và y = 0 => A(5, 0)
   • x = 5 và x + 5y = 20 => 5 + 5y = 20 => y = 3 => B(5, 3)
   • y = 4 và x + 5y = 20 => x + 5*4 = 20 => x = 0 (loại vì x ≥ 5)
   • y = 4 và x = 5 (loại vì không thỏa mãn x + 5y ≤ 20)
   • y = 4 và x + 5y = 20 => x + 5(4) = 20 => x = 0 (loại vì x >= 5)
   • x + 5y = 20 và y = 0 => x = 20 => (20, 0)
   • x + 5y = 20 và x = 5 => y = 3 => (5, 3)
   • x = 5 và y = 4 (loại vì 5 + 5*4 > 20)

   Vậy các điểm cực trị cần xét là: A(5, 0), B(5, 3) và C(20, 0)

   1. Tính giá trị hàm mục tiêu tại các điểm cực trị.
   2. • f(5, 0) = 5 + 6*0 = 5
      • f(5, 3) = 5 + 6*3 = 23
      • f(20, 0) = 20 + 6*0 = 20
   3. Kết luận.
      Giá trị lớn nhất của hàm mục tiêu là 23, đạt được tại điểm (5, 3).

Xác định các biến số.
Gọi x là số kg sản phẩm loại I và y là số kg sản phẩm loại II

Thiết lập hàm mục tiêu.
Hàm mục tiêu là tổng mức lãi, cần được tối đa hóa:
L = 40000x + 30000y

Thiết lập các ràng buộc.
Ràng buộc về nguyên liệu: 2x + 4y ≤ 200
Ràng buộc về thời gian: 30x + 15y ≤ 120
Ràng buộc về số lượng sản phẩm: x ≥ 0, y ≥ 0

Đơn giản hóa các ràng buộc.
Ràng buộc về nguyên liệu: x + 2y ≤ 100
Ràng buộc về thời gian: 2x + y ≤ 8

Vẽ đồ thị các ràng buộc.
Vẽ các đường thẳng x + 2y = 100 và 2x + y = 8 trên hệ trục tọa độ Oxy.
Xác định miền nghiệm của hệ bất phương trình.

Tìm các đỉnh của miền nghiệm.
Các đỉnh của miền nghiệm là giao điểm của các đường thẳng và các trục tọa độ.

1. • Giao điểm của x + 2y = 100 và 2x + y = 8: Giải hệ phương trình này, ta được x = -12 và y = 56. Tuy nhiên, x phải lớn hơn hoặc bằng 0, nên điểm này không thuộc miền nghiệm.
   • Giao điểm của x + 2y = 100 và x = 0: x = 0, y = 50. Điểm (0, 50).
   • Giao điểm của 2x + y = 8 và y = 0: x = 4, y = 0. Điểm (4, 0).
   • Giao điểm của x = 0 và y = 0: x = 0, y = 0. Điểm (0, 0).
   • Giao điểm của 2x + y = 8 và x + 2y = 100: Giải hệ phương trình này, ta được x = (8-y)/2. Thay vào phương trình x + 2y = 100, ta có (8-y)/2 + 2y = 100. Suy ra 8 - y + 4y = 200, hay 3y = 192, vậy y = 64. Khi đó x = (8-64)/2 = -28. Tuy nhiên, x phải lớn hơn hoặc bằng 0, nên điểm này không thuộc miền nghiệm.

Vì miền nghiệm bị chặn bởi các trục tọa độ và các đường thẳng, ta cần xem xét lại các ràng buộc đã đơn giản hóa. Ràng buộc 2x + y ≤ 8 có vẻ quá chặt. Có lẽ đã có sai sót trong việc chuyển đổi đơn vị hoặc thông tin. Tuy nhiên, dựa trên thông tin đã cho, ta tiếp tục giải.

Các đỉnh của miền nghiệm khả thi là (0, 0), (4, 0) và (0, 50).

Tính giá trị của hàm mục tiêu tại các đỉnh.

1. • Tại (0, 0): L = 40000(0) + 30000(0) = 0
   • Tại (4, 0): L = 40000(4) + 30000(0) = 160000
   • Tại (0, 50): L = 40000(0) + 30000(50) = 15000
   • Xác định giá trị lớn nhất của hàm mục tiêu.
     Giá trị lớn nhất của L là 1500000 tại (0, 50).
   • Kết luận.
     Để có mức lãi cao nhất, xưởng nên sản xuất 0 kg sản phẩm loại I và 50 kg sản phẩm loại II.

Miền nghiệm là miền nằm giữa hai đường thẳng $$y=x$$y=x và $$y=-x$$y=−x, bao gồm cả hai đường thẳng này.

a) Miền nghiệm là giao của hai nửa mặt phẳng: $$x+y-2\geq 0$$x+y−2≥0 và $$x-3y+3\leq 0$$x−3y+3≤0
b) Miền nghiệm là giao của ba nửa mặt phẳng: $$x+y>0$$x+y>0, $$2x-3y+6>0$$2x−3y+6>0, và $$x-2y+1\geq 0$$x−2y+1≥0

a) Miền nghiệm của bất phương trình $$2x - y \geq 0$$2x−y≥0 là nửa mặt phẳng chứa điểm $$A(1; 0)$$A(1;0), kể cả đường thẳng $$y = 2x$$y=2x
b) Miền nghiệm của bất phương trình $$\frac{x - 2y}{2} > \frac{2x + y + 1}{3}$$2x−2y​>32x+y+1​ là nửa mặt phẳng không chứa điểm $$B(0; 0)$$B(0;0), không kể đường thẳng $$x + 8y + 2 = 0$$x+8y+2=0