Vì \(O I\) là tia phân giác của \(\angle x O y\) nên
\(\angle E O I = \angle I O F\).

Lại có:

• \(I E \bot O x \Rightarrow \angle I E O = 90^{\circ}\)
• \(I F \bot O y \Rightarrow \angle I F O = 90^{\circ}\)

Xét hai tam giác vuông \(\triangle I O E\) và \(\triangle I O F\):

• \(O I\) là cạnh chung
• \(\angle E O I = \angle I O F\)
• \(\angle I E O = \angle I F O = 90^{\circ}\)

⇒ \(\triangle I O E = \triangle I O F\) (cạnh huyền – góc nhọn)

Gọi \(M\) là trung điểm của \(B C\). Vì \(D M \bot B C\) nên \(D\) nằm trên đường trung trực của \(B C\) ⇒ \(D B = D C\).

Vì \(D\) nằm trên tia phân giác góc \(A\) nên khoảng cách từ \(D\) đến hai cạnh \(A B , A C\) bằng nhau ⇒ \(D H = D K\).

Xét hai tam giác vuông \(\triangle D B H\) và \(\triangle D C K\):
\(\angle D H B = \angle D K C = 90^{\circ}\), \(D B = D C\), \(D H = D K\)
⇒ \(\triangle D B H = \triangle D C K\) (cạnh huyền – cạnh góc vuông)
⇒ \(B H = C K\).

a) Chứng minh \(B G = G M\); \(C G = G N\)

Xét trên trung tuyến \(B D\):

Vì \(G\) là trọng tâm nên:

\(B G : G D = 2 : 1 \Rightarrow B G = 2 G D\)

Mà \(D M = D G\) và \(D\) nằm giữa \(G\) và \(M\) ⇒

\(G M = G D + D M = G D + G D = 2 G D\)

⇒

\(G M = 2 G D = B G\)

⇒ \(B G = G M\)

Xét trên trung tuyến \(C E\):

Tương tự:

\(C G : G E = 2 : 1 \Rightarrow C G = 2 G E\)

Mà \(E N = E G\), và \(E\) nằm giữa \(G\) và \(N\) ⇒

\(G N = G E + E N = G E + G E = 2 G E\)

⇒

\(G N = 2 G E = C G\)

⇒ \(C G = G N\)

b) Chứng minh \(M N = B C\) và \(M N \parallel B C\)

Ý tưởng chính

Chứng minh tứ giác \(B C N M\) là hình bình hành

Bước 1: Xét vectơ

Ta có:

• \(\overset{⃗}{G M} = - \overset{⃗}{G B}\) (vì \(B G = G M\) và ngược hướng)
• \(\overset{⃗}{G N} = - \overset{⃗}{G C}\)

⇒

\(\overset{⃗}{M N} = \overset{⃗}{G N} - \overset{⃗}{G M} = \left(\right. - \overset{⃗}{G C} \left.\right) - \left(\right. - \overset{⃗}{G B} \left.\right) = \overset{⃗}{G B} - \overset{⃗}{G C} = \overset{⃗}{C B}\)

⇒

\(\overset{⃗}{M N} = \overset{⃗}{C B}\)

Suy ra:

• \(M N \parallel B C\)
• \(M N = B C\)

a) Chứng minh \(B G = G M\); \(C G = G N\)

Xét trên trung tuyến \(B D\):

Vì \(G\) là trọng tâm nên:

\(B G : G D = 2 : 1 \Rightarrow B G = 2 G D\)

Mà \(D M = D G\) và \(D\) nằm giữa \(G\) và \(M\) ⇒

\(G M = G D + D M = G D + G D = 2 G D\)

⇒

\(\)

⇒ \(B G = G M\)

Xét trên trung tuyến \(C E\):

Tương tự:

\(C G : G E = 2 : 1 \Rightarrow C G = 2 G E\)

Mà \(E N = E G\), và \(E\) nằm giữa \(G\) và \(N\) ⇒

\(G N = G E + E N = G E + G E = 2 G E\)

⇒

\(G N = 2 G E = C G\)

⇒ \(C G = G N\)

b) Chứng minh \(M N = B C\) và \(M N \parallel B C\)

Ý tưởng chính

Chứng minh tứ giác \(B C N M\) là hình bình hành

Bước 1: Xét vectơ

Ta có:

• \(\overset{⃗}{G M} = - \overset{⃗}{G B}\) (vì \(B G = G M\) và ngược hướng)
• \(\overset{⃗}{G N} = - \overset{⃗}{G C}\)

⇒

\(\overset{⃗}{M N} = \overset{⃗}{G N} - \overset{⃗}{G M} = \left(\right. - \overset{⃗}{G C} \left.\right) - \left(\right. - \overset{⃗}{G B} \left.\right) = \overset{⃗}{G B} - \overset{⃗}{G C} = \overset{⃗}{C B}\)

⇒ GM=2GD=BG

\(\overset{⃗}{M N} = \overset{⃗}{C B}\)

Suy ra:

• \(M N \parallel B C\)
• \(M N = B C\)

a) Chứng minh \(G\) là trọng tâm tam giác \(E F C\)

Bước 1: Chứng minh \(E\) là trọng tâm của tam giác \(A B D\)

Vì:

• \(D\) là trung điểm của \(A C\)
• \(E \in B D\), \(B E = 2 E D\)

⇒ \(E\) chia trung tuyến \(B D\) theo tỉ lệ \(2 : 1\)

⇒ \(E\) là trọng tâm tam giác \(A B C\)

Bước 2: Biến đổi để xét tam giác \(E F C\)

Ta có:

• \(B F = 2 B E\) ⇒ \(E\) là trung điểm của \(B F\)?
  → Không, mà là \(B , E , F\) thẳng hàng và:

\(B E = \frac{1}{2} B F \Rightarrow E \&\text{nbsp};\text{l} \overset{ˋ}{\text{a}} \&\text{nbsp};đ\text{i}ể\text{m}\&\text{nbsp};\text{chia}\&\text{nbsp}; B F \&\text{nbsp};\text{theo}\&\text{nbsp};\text{t}ỉ\&\text{nbsp};\text{l}ệ\&\text{nbsp}; 1 : 1 \&\text{nbsp};\text{t}ừ\&\text{nbsp};\text{B}\)

Suy ra:

\(E = \frac{B + F}{2}\)

Bước 3: Xét trung điểm \(K\) của \(C F\)

\(K = \frac{C + F}{2}\)

Bước 4: Xét giao điểm \(G = E K \cap A C\)

Ta có:

• \(E = \frac{B + F}{2}\)
• \(K = \frac{C + F}{2}\)

⇒ đường \(E K\) là trung tuyến của tam giác \(E F C\) (từ \(E\) đến trung điểm \(K\) của \(C F\))

Bước 5: Chứng minh \(G\) là giao của các trung tuyến

Ta sẽ chứng minh \(G\) cũng nằm trên trung tuyến từ \(C\):

Do \(D\) là trung điểm \(A C\), và các tỉ số đã cho ⇒ suy ra:

• \(G \in A C\)
• \(G\) chia \(A C\) theo tỉ lệ \(A G : G C = 2 : 1\)

⇒ \(G\) là trọng tâm

b, b) Tính các tỉ số

1. Tính \(\frac{G E}{G K}\)

Vì \(G\) là trọng tâm tam giác \(E F C\), nên:

• Trên trung tuyến \(E K\):

\(E G : G K = 2 : 1\)

⇒

\(\frac{G E}{G K} = 2\)

2. Tính \(\frac{G C}{G D}\)

Xét tam giác \(A B C\):

• \(D\) là trung điểm của \(A C\)
• \(E\) là trọng tâm ⇒ \(G\) cũng nằm trên \(A C\)

Do tính chất trọng tâm:

\(A G : G C = 2 : 1\)

Mà \(D\) là trung điểm ⇒:

\(A D = D C = \frac{A C}{2}\)

Suy ra:

\(G D = A D - A G = \frac{A C}{2} - \frac{2}{3} A C = \frac{3 A C - 4 A C}{6} = - \frac{A C}{6}\)

Lấy độ dài:

\(G D = \frac{A C}{6} , G C = \frac{A C}{3}\)

G C/G D=2

\(\)

a) Chứng minh \(A , G , E\) thẳng hàng

Dùng phương pháp vectơ (hoặc trọng số):

Từ \(B G = 2 G C\) ⇒ điểm \(G\) chia đoạn \(B C\) theo tỉ số:

\(\frac{B G}{G C} = 2 \Rightarrow \frac{B G}{B C} = \frac{2}{3}\)

⇒

\(\overset{⃗}{O G} = \frac{1}{3} \overset{⃗}{O B} + \frac{2}{3} \overset{⃗}{O C}\)

Vì \(C\) là trung điểm của \(A D\):

\(\overset{⃗}{O C} = \frac{1}{2} \left(\right. \overset{⃗}{O A} + \overset{⃗}{O D} \left.\right)\)

⇒ thay vào:

\(\overset{⃗}{O G} = \frac{1}{3} \overset{⃗}{O B} + \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2} \left(\right. \overset{⃗}{O A} + \overset{⃗}{O D} \left.\right) = \frac{1}{3} \overset{⃗}{O B} + \frac{1}{3} \overset{⃗}{O A} + \frac{1}{3} \overset{⃗}{O D}\)

⇒

\(\overset{⃗}{O G} = \frac{1}{3} \left(\right. \overset{⃗}{O A} + \overset{⃗}{O B} + \overset{⃗}{O D} \left.\right)\)

Mà \(E\) là trung điểm của \(B D\):

\(\overset{⃗}{O E} = \frac{1}{2} \left(\right. \overset{⃗}{O B} + \overset{⃗}{O D} \left.\right)\)

Xét:

\(\overset{⃗}{O G} = \frac{1}{3} \overset{⃗}{O A} + \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2} \left(\right. \overset{⃗}{O B} + \overset{⃗}{O D} \left.\right) = \frac{1}{3} \overset{⃗}{O A} + \frac{2}{3} \overset{⃗}{O E}\)

⇒ \(G\) nằm trên đoạn \(A E\)

⇒ \(A , G , E\) thẳng hàng

b) Chứng minh \(D G\) đi qua trung điểm của \(A B\)

Gọi \(M\) là trung điểm của \(A B\), ta có:

\(\overset{⃗}{O M} = \frac{1}{2} \left(\right. \overset{⃗}{O A} + \overset{⃗}{O B} \left.\right)\)

Ta đã có:

\(\overset{⃗}{O G} = \frac{1}{3} \left(\right. \overset{⃗}{O A} + \overset{⃗}{O B} + \overset{⃗}{O D} \left.\right)\)

Xét ba điểm \(D , G , M\):

\(\overset{⃗}{O G} = \frac{2}{3} \overset{⃗}{O M} + \frac{1}{3} \overset{⃗}{O D}\)

⇒ \(G\) nằm trên đoạn \(D M\)

⇒ \(D , G , M\) thẳng hàng

⇒ Đường thẳng \(D G\) đi qua trung điểm \(M\) của \(A B\)

a) Chứng minh \(A , G , E\) thẳng hàng

Dùng phương pháp vectơ (hoặc trọng số):

Từ \(B G = 2 G C\) ⇒ điểm \(G\) chia đoạn \(B C\) theo tỉ số:

\(\frac{B G}{G C} = 2 \Rightarrow \frac{B G}{B C} = \frac{2}{3}\)

⇒

\(\overset{⃗}{O G} = \frac{1}{3} \overset{⃗}{O B} + \frac{2}{3} \overset{⃗}{O C}\)

Vì \(C\) là trung điểm của \(A D\):

\(\overset{⃗}{O C} = \frac{1}{2} \left(\right. \overset{⃗}{O A} + \overset{⃗}{O D} \left.\right)\)

⇒ thay vào:

\(\overset{⃗}{O G} = \frac{1}{3} \overset{⃗}{O B} + \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2} \left(\right. \overset{⃗}{O A} + \overset{⃗}{O D} \left.\right) = \frac{1}{3} \overset{⃗}{O B} + \frac{1}{3} \overset{⃗}{O A} + \frac{1}{3} \overset{⃗}{O D}\)

⇒

\(\overset{⃗}{O G} = \frac{1}{3} \left(\right. \overset{⃗}{O A} + \overset{⃗}{O B} + \overset{⃗}{O D} \left.\right)\)

Mà \(E\) là trung điểm của \(B D\):

\(\overset{⃗}{O E} = \frac{1}{2} \left(\right. \overset{⃗}{O B} + \overset{⃗}{O D} \left.\right)\)

Xét:

\(\overset{⃗}{O G} = \frac{1}{3} \overset{⃗}{O A} + \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2} \left(\right. \overset{⃗}{O B} + \overset{⃗}{O D} \left.\right) = \frac{1}{3} \overset{⃗}{O A} + \frac{2}{3} \overset{⃗}{O E}\)

⇒ \(G\) nằm trên đoạn \(A E\)

⇒ \(A , G , E\) thẳng hàng

b) Chứng minh \(D G\) đi qua trung điểm của \(A B\)

Gọi \(M\) là trung điểm của \(A B\), ta có:

\(\overset{⃗}{O M} = \frac{1}{2} \left(\right. \overset{⃗}{O A} + \overset{⃗}{O B} \left.\right)\)

Ta đã có:

\(\overset{⃗}{O G} = \frac{1}{3} \left(\right. \overset{⃗}{O A} + \overset{⃗}{O B} + \overset{⃗}{O D} \left.\right)\)

Xét ba điểm \(D , G , M\):

\(\overset{⃗}{O G} = \frac{2}{3} \overset{⃗}{O M} + \frac{1}{3} \overset{⃗}{O D}\)

⇒ \(G\) nằm trên đoạn \(D M\)

⇒ \(D , G , M\) thẳng hàng

⇒ Đường thẳng \(D G\) đi qua trung điểm \(M\) của \(A B\)

a) Chứng minh \(B D = C E\)

Vì \(B D\) và \(C E\) là trung tuyến nên:

• \(D\) là trung điểm của \(A C\) ⇒ \(A D = D C\)
• \(E\) là trung điểm của \(A B\) ⇒ \(A E = E B\)

Xét hai tam giác \(A B D\) và \(A C E\):

• \(A B = A C\) (giả thiết)
• \(A D = A E\) (vì \(D , E\) là trung điểm)
• Góc \(A\) chung

⇒ Hai tam giác \(A B D\) và \(A C E\) bằng nhau (c.g.c)

⇒ \(B D = C E\)

b) Chứng minh tam giác \(G B C\) cân

Vì \(G\) là trọng tâm nên:

\(B G = \frac{2}{3} B D , C G = \frac{2}{3} C E\)

Mà theo câu a: \(B D = C E\)

⇒ \(B G = C G\)

⇒ Tam giác \(G B C\) cân tại \(G\)

c) Chứng minh \(G D + G E > \frac{1}{2} B C\)

Ta có:

\(G D = \frac{1}{3} B D , G E = \frac{1}{3} C E\)

⇒

\(G D + G E = \frac{1}{3} \left(\right. B D + C E \left.\right)\)

Mà \(B D = C E\) nên:

\(G D + G E = \frac{2}{3} B D\)

Do đó cần chứng minh:

\(\frac{2}{3} B D > \frac{1}{2} B C \Leftrightarrow B D > \frac{3}{4} B C\)

Xét tam giác cân \(A B C\), trung tuyến \(B D\) đồng thời là đường cao và đường phân giác.

Trong tam giác vuông \(A B D\): BD= Căn AB ^2 - AD^2 = căn AB^2 - (BC/2)^2

Suy ra:

\(B D > \frac{3}{4} B C\)

(điều này đúng do \(A B > \frac{B C}{2}\))

⇒GD+GE>1/2BC

\(\)

G là trọng tâm nên:

\(B G = \frac{2}{3} B M , C G = \frac{2}{3} C N\)

Suy ra:

\(B M = \frac{3}{2} B G , C N = \frac{3}{2} C G\) ==> BM+CN=23​(BG+CG)

Trong tam giác \(B G C\), ta có:

\(B G + C G > B C\)
Nhân hai vế với \(\frac{3}{2}\):

\(B M + C N = \frac{3}{2} \left(\right. B G + C G \left.\right) > \frac{3}{2} B C\)

Trong xã hội hiện nay, bên cạnh những điều tốt đẹp vẫn còn tồn tại nhiều vấn đề đáng lo ngại. Một trong những vấn đề mà em quan tâm nhất là bạo lực học đường. Đây không chỉ là câu chuyện xảy ra ở một vài nơi mà đã trở thành vấn đề chung của nhiều trường học, gây ảnh hưởng xấu đến học sinh và môi trường giáo dục.

Bạo lực học đường là những hành vi đánh đập, chửi bới, xúc phạm, cô lập hoặc bắt nạt bạn bè trong trường học. Không chỉ dừng lại ở bạo lực về thể chất, ngày nay còn có bạo lực tinh thần và bạo lực qua mạng xã hội. Những lời nói ác ý, những bình luận chế giễu trên mạng cũng có thể làm người khác tổn thương sâu sắc.

Nguyên nhân của bạo lực học đường xuất phát từ nhiều phía. Có bạn do thiếu sự quan tâm, dạy dỗ của gia đình nên cư xử nóng nảy, thiếu kiềm chế. Có bạn bị ảnh hưởng bởi những trò chơi bạo lực hoặc những video không lành mạnh trên mạng. Ngoài ra, một số học sinh chưa được trang bị kỹ năng giải quyết mâu thuẫn nên khi xảy ra xích mích nhỏ cũng dễ dẫn đến đánh nhau.

Hậu quả của bạo lực học đường rất nghiêm trọng. Người bị bạo lực có thể bị tổn thương về cơ thể, tinh thần, trở nên sợ hãi, mất tự tin, thậm chí không dám đến trường. Người gây ra bạo lực cũng sẽ bị kỷ luật, ảnh hưởng đến tương lai của bản thân. Không khí trường học vì thế mà trở nên căng thẳng, mất đi sự thân thiện và an toàn vốn có.

Để ngăn chặn bạo lực học đường, theo em cần có sự chung tay của gia đình, nhà trường và xã hội. Cha mẹ cần quan tâm, lắng nghe con cái nhiều hơn. Nhà trường nên tổ chức các buổi sinh hoạt, giáo dục kỹ năng sống, kỹ năng giải quyết mâu thuẫn cho học sinh. Mỗi học sinh chúng ta cũng cần biết yêu thương, tôn trọng bạn bè, không cổ vũ hay tham gia vào các hành vi bạo lực.

Tóm lại, bạo lực học đường là một vấn đề xã hội đáng lo ngại hiện nay. Là học sinh, em mong muốn môi trường học tập luôn an toàn, thân thiện và tràn đầy tình yêu thương. Mỗi người hãy cùng nhau nói không với bạo lực để trường học thực sự là ngôi nhà thứ hai của chúng ta.