a)

Vì M thuộc tia đối của tia DB và DM = DG nên D nằm giữa G và M

Ta có : GM = GD + DM = GD + GD = 2GD

Mà BG = 2GD (tính chất trọng tâm)

Vậy BG = GM

Vì N thuộc tia đối của tia EG và EN = EG nên E nằm giữa G và N

Ta có : GN = GE + EN = GE + GE = 2GE

Mà CG = 2GE (tính chất trọng tâm)

Vậy CG = GN

b)

Xét tam giác GBC và GMN, có

GB = GM (gt)

Góc BGC = góc MGN (gt)

GC = GN (gt)

=> Tam giác GBC = Tam giác GMN (c - g - c)

=> BC = MN (2 cạnh t/ứ)

=> Góc GCB = Góc GNM (2 góc t/ứ)

Mà hai góc này nằm ở vị trí so le trong nên suy ra BC // MN

a)

Đặt ED = x

Ta có : BE = 2ED nên BE = 2x

BD = BE + ED = 2x + x = 3x

Vì F thuộc tia đối của tia DE và BF = 2BC = 4x

=> DF = BF - BD = 4x - 3x = x

Mà DF = DE = x, suy ra D là trung điểm của FE

Xét tam giác EFC

EK là đường trung tuyến

CD là đường trung tuyến

G là giao điểm của EK và AC. Mà D nằm trên AC nên G cũng chính là giao điểm của 2 đường trung tuyến EK và CD

=> G là trọng tâm của tam giác EFC

b)

GE/GK = 2

=> GC/DC = 2/3

Xét tam giác ABD, ta có

C là trung điểm của AD

=> BC là đường trung tuyến ứng với AD

G thuộc BC và BG = 2GC

=> BG = 2/3 BC

=> G là trọng tâm của tam giác ABD

a) Ta có

E là trung điểm của BD

=> AE là đường trung tuyến ứng với BD của tam giác ABD

Vì G là trọng tâm của tam giác ABD, nên G phải nằm trên đường trung tuyến AE

Vậy ba điểm A,G,E thẳng hàng

b)

Vì DG là đường trung tuyến thứ ba nên suy ra DG đi qua trung điểm của AB

a) Vì tam giác ABC cân tại A, ta có :

AB = AC

EB = 1/2 AB

DC = 1/2 AC

=> AD = AE

Xét tam giác ABD và tam giác ACE, có

AB = AC (gt)

Góc A chung

AD = AE (gt)

=> Tam giác ABD = Tam giác ACE (c - g - c)

=> BD = CE (2 cạnh t/ứ)

b) Vì BD và CE là 2 đường trung tuyến cắt tại G, nên G là trọng tâm của Tam giác ABC

=> GB = 2/3 BD

GC = 2/3 CE

Mà BD = CE

=> GB = GC

=> Tam giác GBC cân tại G

c)

Ta có

GB = 2GD

GC = 2GE

Xét tam giác GBC, có GB + GC = BC

=> 2GD + 2GE > BC

2(GD + GE) > BC

GD + GE > 1/2 BC (đpcm)

a) Vì tam giác ABC cân tại A, ta có :

AB = AC

EB = 1/2 AB

DC = 1/2 AC

=> AD = AE

Xét tam giác ABD và tam giác ACE, có

AB = AC (gt)

Góc A chung

AD = AE (gt)

=> Tam giác ABD = Tam giác ACE (c - g - c)

=> BD = CE (2 cạnh t/ứ)

b) Vì BD và CE là 2 đường trung tuyến cắt tại G, nên G là trọng tâm của Tam giác ABC

=> GB = 2/3 BD

GC = 2/3 CE

Mà BD = CE

=> GB = GC

=> Tam giác GBC cân tại G

c)

Ta có

GB = 2GD

GC = 2GE

Xét tam giác GBC, có GB + GC = BC

=> 2GD + 2GE > BC

2(GD + GE) > BC

GD + GE > 1/2 BC (đpcm)