Trong kho tàng tục ngữ Việt Nam, câu “Có công mài sắt, có ngày nên kim” gửi gắm một bài học sâu sắc về ý chí và sự kiên trì trong cuộc sống. Đây không chỉ là lời khuyên giản dị của ông cha ta mà còn là chân lý có giá trị bền vững trong mọi thời đại.

Trước hết, câu tục ngữ được hiểu theo nghĩa đen là: nếu ta kiên trì mài một thanh sắt thô ráp thì đến một ngày nào đó, nó cũng có thể trở thành cây kim nhỏ bé, sắc bén. Từ đó, ông cha ta muốn nhắn nhủ rằng: chỉ cần có lòng quyết tâm và sự bền bỉ, con người có thể vượt qua mọi khó khăn để đạt được mục tiêu. Trong cuộc sống, không có thành công nào đến một cách dễ dàng. Mọi thành quả đều là kết tinh của quá trình nỗ lực không ngừng nghỉ.

Thực tế đã chứng minh điều đó. Những học sinh đạt thành tích cao không phải là những người bẩm sinh đã giỏi, mà là những người chăm chỉ học tập mỗi ngày. Những vận động viên giành huy chương cũng phải trải qua quá trình luyện tập gian khổ, thậm chí là thất bại nhiều lần. Ngay cả trong những việc nhỏ nhất, nếu thiếu kiên nhẫn, chúng ta cũng khó có thể hoàn thành tốt. Ngược lại, khi ta bền bỉ theo đuổi mục tiêu, từng bước một, thành công sẽ dần hiện ra.

Tuy nhiên, kiên trì không có nghĩa là cố chấp. Con người cần biết điều chỉnh phương pháp, học hỏi kinh nghiệm để nỗ lực của mình đạt hiệu quả cao hơn. Nếu chỉ “mài sắt” một cách máy móc mà không suy nghĩ, ta có thể mất nhiều thời gian mà không đạt được kết quả như mong muốn. Vì vậy, bên cạnh sự bền bỉ, cần có sự thông minh và linh hoạt.

Đối với bản thân em, câu tục ngữ là một lời nhắc nhở quý giá. Trong học tập cũng như trong cuộc sống, em hiểu rằng không nên nản chí trước khó khăn. Mỗi ngày cố gắng một chút, tích lũy từng bước, em tin rằng mình sẽ tiến gần hơn đến ước mơ.

Tóm lại, “Có công mài sắt, có ngày nên kim” là bài học về ý chí và nghị lực. Câu tục ngữ khẳng định rằng: chỉ cần kiên trì và quyết tâm, con người hoàn toàn có thể biến những điều tưởng chừng không thể thành hiện thực.

Không thầy đố mày làm nên

Đi một ngày đàng, học một sàng khôn

Học đi đôi với hành

Ý nghĩa của câu 1 câu 9 hoàn toàn đối lập nhau. Câu 1 khẳng định phương pháp học thông minh, sáng tạo, hiểu sâu rộng; câu 9 phê phán cách học hời hợt, hình thức, không mang lại kiến thức thực chất. 

Gọi vị trí đặt loa là \(D\) suy ra \(D\) nằm giữa \(A\) và \(B\).Trong tam giác vuông \(A D C\) ta có \(D C\) là cạnh lớn nhất (đối diện với góc lớn nhất) nên \(D C > A C = 550\) m. Vậy tại \(C\) không thể nghe tiếng loa, do vị trí \(C\) đã nằm ngoài bán kính phát sóng của loa.

a) Xét \(\Delta D A B\) và \(\Delta E A C\) lần lượt vuông tại \(D\) và \(E\) có:

   \(A B = A C\) (\(\Delta A B C\) cân tại \(A\));

   \(\hat{B A C}\) chung.

Suy ra \(\Delta D A B = \Delta E A C\) (cạnh huyền, góc nhọn)

Suy ra \(A D = A E\) (hai cạnh tương ứng).

b) Xét \(\Delta E A I\) và \(\Delta D A I\) lần lượt vuông tại \(E\) và \(D\):

    \(AE=AD\)

    Chung cạnh \(A I .\)

Suy ra \(\Delta E A I = \Delta D A I\) (cạnh huyền, cạnh góc vuông).

Suy ra \(\hat{E A I}=\hat{D A I}\) (hai góc tương ứng).

Suy ra \(A I\) là tia phân giác của \(\hat{B A C}\).

c) Có \(A D = A E\) suy ra \(\Delta A E D\) cân tại \(A\).

Suy ra \(\hat{A E D} = \frac{18 0^{\circ} - \hat{B A C}}{2}\)

Tam giác \(A B C\) cân tại \(A\), suy ra \(\hat{A B C} = \frac{18 0^{\circ} - \hat{B A C}}{2}\).

Từ \(\left(\right. 1 \left.\right)\) và \(\left(\right. 2 \left.\right)\) suy ra \(\hat{A E D} = \hat{A B C}\) (hai góc ở vị trí đồng vị) nên \(E D\) // \(B C\).

a) Xét \(\Delta D A B\) và \(\Delta E A C\) lần lượt vuông tại \(D\) và \(E\) có:

   \(A B = A C\) (\(\Delta A B C\) cân tại \(A\));

   \(\hat{B A C}\) chung.

Suy ra \(\Delta D A B = \Delta E A C\) (cạnh huyền, góc nhọn)

Suy ra \(A D = A E\) (hai cạnh tương ứng).

b) Xét \(\Delta E A I\) và \(\Delta D A I\) lần lượt vuông tại \(E\) và \(D\):

    \(AE=AD\)

    Chung cạnh \(A I .\)

Suy ra \(\Delta E A I = \Delta D A I\) (cạnh huyền, cạnh góc vuông).

Suy ra \(\hat{E A I}=\hat{D A I}\) (hai góc tương ứng).

Suy ra \(A I\) là tia phân giác của \(\hat{B A C}\).

c) Có \(A D = A E\) suy ra \(\Delta A E D\) cân tại \(A\).

Suy ra \(\hat{A E D} = \frac{18 0^{\circ} - \hat{B A C}}{2}\)

Tam giác \(A B C\) cân tại \(A\), suy ra \(\hat{A B C} = \frac{18 0^{\circ} - \hat{B A C}}{2}\).

Từ \(\left(\right. 1 \left.\right)\) và \(\left(\right. 2 \left.\right)\) suy ra \(\hat{A E D} = \hat{A B C}\) (hai góc ở vị trí đồng vị) nên \(E D\) // \(B C\).

a) Do tam giác \(A B C\) cân tại \(A\) nên \(A B = A C\) và \(\hat{A B C} = \hat{A C B}\).

Do \(B F\) là tia phân giác của \(\hat{A B C}\) nên \(\hat{A B F} = \hat{F B C} = \frac{1}{2} \hat{A B C}\).

Do \(C E\) là tia phân giác của \(\hat{A C B}\) nên \(\hat{A C E} = \hat{E C B} = \frac{1}{2} \hat{A C B}\).

Do đó \(\hat{A B F} = \hat{A C E}\).

b) Xét \(\triangle A B F\) và \(\triangle A C E\) có:

\(\hat{A B F} = \hat{A C E}\) (chứng minh trên).

\(A B = A C\) (chứng minh trên).

\(\hat{A}\) chung.

Do đó \(\triangle A B F = \triangle A C E\) (g.c.g).

Suy ra \(A F = A E\) (hai cạnh tương ứng).

Tam giác \(A E F\) có \(A F = A E\) nên tam giác \(A E F\) cân tại \(A\).

c) Ta có \(\hat{F B C} = \hat{E C B}\) nên \(\hat{I B C} = \hat{I C B}\).

Tam giác \(I B C\) có \(\hat{I B C} = \hat{I C B}\) nên tam giác \(I B C\) cân tại \(I\).

Do đó \(I B = I C\).

\(\hat{E I B} = \hat{F I C}\) (đối đỉnh).

\(I B = I C\) (chứng minh trên).

\(\hat{E B I} = \hat{F C I}\) (chứng minh trên).

Do đó \(\Delta E I B = \Delta F I C\) (g.c.g).

Suy ra \(I E = I F\) (hai cạnh tương ứng).

Tam giác \(I E F\) có \(I E = I F\) nên tam giác \(I E F\) cân tại \(I\).

Biểu thức \(A\) lớn nhất khi  \(x^{2022} + 2023\) nhỏ nhất.

ta có  \(x^{2022} \geq 0\) với mọi \(x\in R\). Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \(x = 0\).

Vậy khi \(x = 0\), \(A\) đạt giá trị lớn nhất bằng \(2023\).

a) Xét \(\Delta B A D\) và \(\Delta B E D\) lần lượt vuông tại \(A\) và \(E\).

    \(B D\) chung.

    \(\hat{A B D} = \hat{E B D}\) (\(B D\) là tia phân giác).

Suy ra \(\Delta B A D = \Delta B E D\) (cạnh huyền - góc nhọn).

b) Vì \(\Delta BAD=\Delta BED\left(\right.cm\) phần a) nên \(A D = E D ; B A = B E\) (2)

Xét \(\Delta A F D\) vuông tại \(A\) và \(\Delta E C D\) vuông tại \(E\) có:

    \(A D = E D \left(\right. c m t \left.\right)\)

    \(\hat{A D F} = \hat{E D C}\) (đối đỉnh)

Suy ra \(\Delta A F D = \Delta E C D\) (cạnh góc vuông - góc nhọn)

Nên \(A F = E C\) (2).

Từ (1) và (2) suy ra \(A F + B A = B E + E C\)

Hay \(B F = B C\)

Vậy \(\Delta B C F\) cân tại \(B\).

c) Giả sử \(B D\) kéo dài cắt \(F C\) tại \(K\)

Xét \(\Delta B K F\) và \(\Delta B K C\) có:

    \(B K\) là cạnh chung

    \(\hat{K B F} = \hat{K B C}\) (Vì \(B D\) là phân giác của \(\hat{A B C}\) )

     \(B F = B C\) ( cm phần b(\(\)

Suy ra \(\Delta B K F = \Delta B K C \left(\right.\) c.g.c \(\left.\right)\)

Suy ra \(K F = K C\) (hai cạnh tương ứng)

Vậy \(B K\) hay \(B D\) là đường trung tuyến của \(\Delta B C F\).

a) Sắp xếp \(P \left(\right. x \left.\right)\) và \(Q \left(\right. x \left.\right)\) theo lũy thừa giảm dần.

\(P \left(\right. x \left.\right) = 2 x^{3} + 5 x^{2} - 2 x + 2\).

\(Q \left(\right. x \left.\right) = - x^{3} - 5 x^{2} + 2 x + 6\).

b) \(P \left(\right. x \left.\right) + Q \left(\right. x \left.\right) = x^{3} + 8\).

\(P \left(\right. x \left.\right) - Q \left(\right. x \left.\right) = 3 x^{3} + 10 x^{2} - 4 x - 4\).