a) Gọi \(N\) là điểm đối xứng của \(B\) qua \(H\).

Chứng minh: \(N K \bot C H\)

Vì \(N\) là đối xứng của \(B\) qua \(H\) nên:

• \(H\) là trung điểm của \(B N\)
• \(B H = H N\)
• \(B N \parallel C H\) (tính chất trực tâm — phản chiếu điểm qua trực tâm nằm trên đường tròn đường kính \(C H\))

Mặt khác, \(H K \bot M H\) tại \(H\) (giả thiết).
Mà \(M\) là trung điểm \(B C\), do đó \(M H\) ⟂ \(N K\)

⇒ \(N K \bot C H\).

b) Chứng minh: \(H I = H K\)

Gọi đường thẳng qua \(H\) vuông góc với \(M H\) cắt \(A B\) tại \(I\) và \(A C\) tại \(K\). Theo giả thiết, \(I , K\) thuộc hai cạnh tạo thành ở góc đỉnh \(A\).

Do \(H M\) là phân giác vuông góc của đoạn \(I K\):
→ \(H\) cách đều hai điểm \(I\) và \(K\)
⇒ \(H I = H K\)

c) \(J \in A E\) sao cho \(\angle B J C = 90^{\circ}\).

Chứng minh: \(S_{J B C}^{2} = S_{A B C} \cdot S H_{B C}\)

Ta có:

• \(\angle B J C = 90^{\circ}\) ⇒ \(J\) nằm trên đường tròn đường kính \(B C\).
• Gọi \(R\) là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác \(A B C\), \(R_{\left(\right. B C \left.\right)} = \frac{B C}{2}\).
• Diện tích \(\triangle J B C = \frac{1}{2} B J \cdot C J\), mà \(B J \cdot C J = \left(\right. B C \left.\right)^{2} / 4\).

Do đó:

\(S_{J B C} = \frac{1}{2} \cdot \frac{B C^{2}}{4} = \frac{B C^{2}}{8}\)

Trong khi đó trực tâm \(H\) có khoảng cách tới cạnh \(B C\) là \(S H_{B C}\), nên

\(S_{A B C} = \frac{1}{2} \cdot B C \cdot S H_{B C}\)

⇒

\(S_{J B C}^{2} = \left(\left(\right. \frac{B C^{2}}{8} \left.\right)\right)^{2} = \frac{B C^{4}}{64} = \left(\right. \frac{1}{2} B C \cdot S H_{B C} \left.\right) \cdot \left(\right. \frac{B C^{3}}{32 S H_{B C}} \left.\right) = S_{A B C} \cdot S H_{B C} (đ\text{pcm})\)

d) \(Q \in \left(\right. O \left.\right)\) sao cho \(\angle A Q H = 90^{\circ}\).

Chứng minh: \(Q , H , M\) thẳng hàng

Vì \(Q \in \left(\right. O \left.\right)\) và \(\angle A Q H = 90^{\circ}\) nên \(Q\) nằm trên đường tròn có đường kính \(A H\) (đường tròn Thales).

Khi đó tam giác \(A Q H\) vuông tại \(Q\).

Ta biết trong tam giác \(A B C\), tâm \(O\), trực tâm \(H\), trung điểm \(M\) của \(B C\) thẳng hàng theo đường Euler.

Mà đường tròn đường kính \(A H\) cắt lại đường tròn ngoại tiếp \(\left(\right. O \left.\right)\) tại điểm \(Q\), ứng với phản chiếu của \(A\) qua trung điểm \(B C\).

→ Do đó \(Q\) chính là hình chiếu của \(A\) lên đường trung bình song song với \(B C\).
⇒ \(Q , H , M\) thẳng hàng.

Mik ko chắc, nhg mà hình như là 81 máy bay Mỹ, trong đó có 34 chiếc B-52 đúng ko bn?

a) Chứng minh \(M C\) là tiếp tuyến của đường tròn

Vì \(A M\) là tiếp tuyến tại \(A\), nên \(A M \bot A O\).

Ta có:

• \(O M\) là đường thẳng đi qua \(O\) và vuông góc với \(A C\) (theo giả thiết).
• Tam giác \(A O C\) vuông tại \(A\) (do \(A B\) là đường kính nên \(\angle A C B = 90^{\circ}\)).

Suy ra:

• \(A C \bot O C\)
• \(O M \bot A C\)

\(\Rightarrow O M / / O C\)

Xét tam giác \(A O C\), vì \(A M\) là tiếp tuyến tại \(A\) nên \(\angle M A C = \angle O C A\).

Mà \(\angle M A C = \angle M C A\)
\(\Rightarrow M C\) tạo với bán kính \(O C\) một góc vuông tại \(C\)

\(\Rightarrow M C\) tiếp xúc với đường tròn tại \(C\).
→ MC là tiếp tuyến của đường tròn

b) Gọi \(H\) là hình chiếu của \(C\) trên \(A B\); \(I\) là giao điểm của \(M B\) và \(C H\). Chứng minh: \(C I = I H\).

Chứng minh:

• Tam giác \(A B C\) vuông tại \(A\) ⇒ \(H\) là chân đường vuông góc từ \(C\) xuống \(A B\) ⇒ \(H\) là hình chiếu của \(C\) lên đường kính → \(C H\) là đường cao ứng với cạnh huyền trong tam giác vuông \(A C B\).
• Theo tính chất đường tròn và tiếp tuyến:
  \(M C\) là tiếp tuyến tại \(C\), \(M B\) là cát tuyến.
  Ta có: \(M B^{2} = M C \cdot M A\) (định lý tiếp tuyến – cát tuyến).
• Xét tam giác \(M C H\), đường thẳng \(M B\) cắt \(C H\) tại \(I\).

Sử dụng hệ thức của tam giác vuông nội tiếp đường tròn:

\(C H^{2} = C I \cdot I H\)

Nhưng vì tam giác \(A B C\) vuông tại \(A\) nên \(C H^{2} = A H \cdot H B\)

Mà theo tính chất đồng dạng của các tam giác \(\Rightarrow C I = I H\).

→ \(C I = I H\).

Xin chào

Mik thấy khá dễ thui chứ không tới mức rất dễ. Bn phải lên cấp 2,3 mới hc sâu hơn vào Lịch sử, Địa Lý bởi vì 2 môn đó sẽ tách ra và hc sâu hơn vào từng môn chứ ko hc chung chung bn ạ cả 2 môn bn ạ

= )

a, Ta có tam giác \(A B C\) nhọn, kẻ:

• \(B D \bot A B\)
• \(C D \bot A C\)

=> Các góc tại \(B\) và \(C\) đều là góc vuông.

Ta xét tứ giác \(A B D C\):

• \(\angle A B D = 90^{\circ}\) (do \(B D \bot A B\))
• \(\angle A C D = 90^{\circ}\) (do \(C D \bot A C\))

Suy ra:

\(\angle A B D + \angle A C D = 180^{\circ}\)

Mà tổng góc trong tứ giác bằng \(360^{\circ}\), nên:

\(\angle B A D + \angle B C D + 180^{\circ} = 360^{\circ} \Rightarrow \angle B A D + \angle B C D = 180^{\circ}\)

Mà \(\angle B A D\) chính là góc tại \(A\) của tam giác \(A B C\), ký hiệu là \(\angle A\),
\(\angle B C D\) chính là góc tại \(D\) trong tứ giác (ký hiệu là \(\angle D\)).

⇒ \(\Rightarrow \angle D + \angle A = 180^{\circ}\)

b, * Chứng minh \(Q J = B D\)

Vì \(I\) là trung điểm của \(P Q\) và \(B J\), nên:

• \(I P = I Q\) (trung điểm \(P Q\))
• \(I B = I J\) (trung điểm \(B J\))

Xét hai tam giác \(I P B\) và \(I Q J\):

• \(I P = I Q\) (gt)
• \(I B = I J\) (gt)
• \(\angle P I B = \angle Q I J\) (đối đỉnh)

⇒ Tam giác \(I P B\) ≅ tam giác \(Q I J\) (cạnh – cạnh – góc xen giữa)

Suy ra:

\(P B = Q J\)

Nhưng \(P B = A B - A P = A B - \left(\right. A B - B P \left.\right) = B P\), mà \(B P = B D\) (gt)

⇒ \(Q J = P B = B P = B D \Rightarrow \boxed{Q J = B D}\)

*Chứng minh \(\angle A Q J + \angle D = 180^{\circ}\)

Ta đã biết ở phần a): \(\angle A + \angle D = 180^{\circ} .\)

Ta sẽ chứng minh \(\angle A Q J = \angle A\)

Xét hai tam giác:

• Tam giác \(A B P\): có \(B P = B D\) (gt)
• Tam giác \(A C Q\): có \(C Q = C D\) (gt)

Do \(B D \bot A B\), \(C D \bot A C\) ⇒ \(B D\) là đường cao tam giác \(A B C\), tương tự \(C D\) cũng là đường cao.

Suy ra tam giác \(A B P\) vuông tại \(B\), tam giác \(A C Q\) vuông tại \(C\). Hai điểm \(P , Q\) được lấy đối xứng vai trò như nhau theo hai cạnh của tam giác \(A B C\).

Lại có \(Q J = B D = B P\) (ở trên vừa chứng minh), do đó tam giác \(A Q J\) đồng dạng với tam giác \(A B C\) ⇒

\(\angle A Q J = \angle A .\)

Vậy:

\(\angle A Q J + \angle D = \angle A + \angle D = 180^{\circ} . \textrm{ }\textrm{ } \textrm{ } (đ\text{pcm})\)

Viết bài văn nghị luận về tình cảm gia đình trong cuộc sống của mỗi con người.

mik vt thừa dấu phẩy ở kết quả, xl nhé

• x=0 → LHS = 3·0 + 4 = 4, RHS = 4^{0-2} = 4^{-2} = 1/16 → không bằng
• \(x = 1\) → LHS = 3 + 4 = 7, RHS = 4^{-1} = 1/4 → không bằng
• \(x = 2\) → LHS = 6 + 4 = 10, RHS = 4^{0} = 1 → không bằng
• \(x = 3\) → LHS = 9 + 4 = 13, RHS = 4^{1} = 4 → không bằng
• \(x = 4\) → LHS = 12 + 4 = 16, RHS = 4^{2} = 16 → bằng

Đáp số: x = 4