Xét tam giác \(A B C\), áp dụng tính chất tia phân giác trong tam giác, ta có: 

\(\frac{A M}{M B} = \frac{A C}{C B} = \frac{A B}{C B} = \frac{A N}{N C} \left(\right. = \frac{b}{a} \left.\right)\)

Vậy \(M N\) // \(B C\) (Định lí đảo của định lí Thalès)

Suy ra \(\frac{M N}{B C} = \frac{A M}{A B} = \frac{b}{b + a}\) (Định lí Thalès)

Vậy nên \(M N = \frac{a b}{a + b} .\)

Vi Tam giác \(A B C\) cân tại \(A\) nên \(A B = A C = 12\) cm.

Xét tam giác \(A B C\) có: CD là phân giác của góc ACB nên ta có:

\(\frac{A D}{D B} = \frac{A C}{C B} = \frac{12}{6} = 2\) (tính chất đường phân giác của tam giác)

Suy ra \(\frac{A D}{A B} = \frac{2}{3}\) suy ra \(A D = \frac{2}{3} . 12 = 8\) (cm)

Do đó, \(D B = 12 - 8 = 4\) (cm).

giải:

Do BD là đường trung tuyến của tam giác ABC (gt)

⇒ D là trung điểm của AC

Do CE là đường trung tuyến của tam giác ABC (gt)

⇒ E là trung điểm của AB

⇒ DE là đường trung bình của tam giác ABC

⇒ DE // BC và DE = BC : 2

⇒ BC = 2DE

Do DE // BC (cmt)

⇒ BCDE là hình thang

Do M là trung điểm của BE (gt)

N là trung điểm của CD (gt)

⇒ MN là đường trung bình của hình thang BCDE

⇒ MN // DE // BC và MN = (DE + BC) : 2

Do MN // DE (cmt)

⇒ MI // DE và NK // DE

Xét tam giác BDE có:

MI // DE (cmt)

M là trung điểm của BE (gt)

⇒ I là trung điểm của BD

⇒ MI là đường trung bình của tam giác BDE

⇒ MI = DE : 2   (1)

Xét tam giác CDE có:

NK // DE (cmt)

N là trung điểm của CD (gt)

⇒ K là trung điểm của CE

⇒ NK là đường trung bình của tam giác CDE

⇒ NK = DE : 2   (2)

Mà MI = DE : 2

⇒ MI = NK = DE : 2

⇒ MI + NK = DE

Ta có:

MN = (DE + BC) : 2

Mà BC = 2DE (cmt)

⇒ MN = (DE + 2DE) : 2

= DE + DE : 2

Lại có:

MN = MI + IK + NK

= (MI + NK) + IK

= DE + IK

⇒ DE + IK = DE + DE : 2

⇒ IK = DE : 2 (3)

Từ (1), (2) và (3) ⇒ MI = IK = KN(đpcm)

Bài 5:

giải:

a/Xét tam giác ABC có

NA=NB; MA=MC => MN là đường trung bình của tg ABC => MN//BC

Xét tg GBC có

DG=DB; EG=EC => DE là đường trung bình của tg GBC => DE//BC

=> MN//DE (cùng // BC)

b/Xét tam giác ABG có

NA=NB; DG=DB => ND là đường trung bình của tg ABG => ND//AG

Xét tg ACG có

MA=MC; EG=EC => ME là đường trung bình của tg ACG => ME//AG

=> ND//ME (cùng // với AG)(đpcm)

bài 2:

giải:

a/ Goi E là trung điểm của MC

Từ gt \(A M = \frac{1}{2} M C \Rightarrow A M = M E = E C\)

Xét tg BCM có

ME=EC (cmt); DB=DC (gt) => DE là đường trung bình của tg BCM

=> DE//BM 

Xét tg ADE có

AM=ME (cmt)

BM//DE (cmt) =>OM//DE

=> OA=OD (trong tg đường thẳng đi qua trung điểm của 1 cạnh và // với 1 cạnh thì đi qua trung điểm cạnh còn lại) suy ra O là trung điểm của AD(đpcm)

b/

Ta có DE là đường trung bình của tg BCM \(\Rightarrow D E = \frac{1}{2} B M\)

Xét tg ADE có

OA=OD (cmt); AM=ME (cmt) => OM là đường trung bình của tg ADE

\(\Rightarrow OM=\frac{1}{2}DE=\frac{1}{2}.\frac{1}{2}BM=\frac{1}{4}BM\left(đpcm\right)\)

bai 1:

giai

Gọi K là trung điểm của CD

a: Xét ΔBDC có 

M là trung điểm của BC

K là trung điểm của CD

Do đó: MK là đường trung bình

=>MK//BD

hay ID//MK

Xét ΔAMK có 

I là trung điểm của AM

ID//MK

Do đó: D là trung điểm của AK

=>AD=DK=KC

=>AD=1/2DC(đpcm)

b: Xét ΔAMK có 

I là trung điểm của AM

D là trung điểm của AK

Do đó: ID là đường trung bình

=>ID=MK/2

hay MK=2ID

Ta có: MK là đường trung bình của ΔBDC

nên MK=BD/2

=>BD/2=2ID

hay BD=4ID(đpcm)

a, ta có ΔABC vuông cân tại A

mà AM là trung tuyến

nên AM là phân giác của góc BAC

Xét tứ giác AEDF có

góc AED=góc AFD=góc FAE=90 độ

AD là phân giác của góc FAE

suy ra AEDF là hình vuông (đpcm)

b, Vì AEDF là hình vuông

suy ra góc AEF=45 độ

suy ra góc AEF=góc ABC

Do đó EF//BC(đpcm)

c,

(Máy con tự dưng bị lỗi nên câu 4 và câu 5 con không vẽ hình đc cô ạ)

a, Xét tứ giác ADME có

góc ADM=góc AEM=góc DAE=90 độ

suy ra ADME là hình chữ nhật(đpcm)

b; Xét ΔABC có

M là trung điểm của BC

MD//AC

suy ra D là trung điểm của AB

Xét tứ giác AMBI có

D là trung điểm chung của AB và MI

suy ra AMBI là hình bình hành

mà MA=MB

nên AMBI là hình thoi

2 câu c,d con chưa phân tích ra hết đc ạ

a, Xét tứ giác ABCD tq có

N là trung điểm chung của AC và BD

suy ra ABCD là hình bình hành(đpcm)

b,Xét tứ giác APCQ có

AP//CQ

AQ//CP

Suy ra APCQ là hình bình hành

Suy ra AC cắt PQ tại trung điểm của mỗi đường

Do đó: P,N,Q thẳng hàng(đpcm)

c, Để hình bình hành ABCD trở thành hình vuông thì ABCD vừa là hình chữ nhật vừa là hình thoi(1)

Hình bình hành ABCD trở thành hình chữ nhật khi góc ABC =90 độ (2)

Hình bình hành ABCD trở thành hình thoi khi BA=BC(3)

Từ (1),(2) và (3) suy ra:

để hình bình hành ABCD trở thành vuông thì góc ABC=90 độ và BA=BC

KMCDNAB

giải:

a,Vì ABCD là hình bình hành

suy ra:BC//AD,BC=AD

Mà N,M là trung điểm của AD,BC

Suy ra CM//DN,CM=1/2 BC=1/2 AD=DN

Suy ra CMND là hình bình hành

Mà CD=AB=1/2 AD=DN

Suy ra CMND là hình thoi(đpcm)

b,ta có; MCDN là hình thoi

Suy ra góc MDN=1/2 góc ADC=1/2.(180 độ - góc A)= 60 độ= góc A

Suy ra ABMD là hình thang cân

Do đó AM=BD(đpcm)

c,Ta có BM=1/2 BC=1/2 AD

suy ra BM/AD=1/2

Mà BM//AD

suy ra KB/KA=KM/KD=BM/AD=1/2

suy ra KB=1/2 AK,KM= 1/2 KD

suy ra B,M là trung điểm của KA,KD

Do đó AM,BD,KN là trung tuyến của tam giác KAD

Vì vậy AM,BD,KN đồng quy(đpcm)