Δ A B C có hai đường trung tuyến BM và CN cắt nhau tại G. Suy ra G là trọng tâm của tam giác. ⇒ B G = 2 3 B M ; G M = 1 3 B M ( 1 ) Mà: P G = 1 2 B G = 1 2 . 2 3 B M = 1 3 B M ( 2 ) Từ (1), (2) suy ra GM = PG Chứng minh tương tự ta cũng có QG = GN Tứ giác PQMN có hai đường chéo QN và PM cắt nhau tại trung điểm mỗi đường nên tứ giác PQMN là hình bình hành

a) Do ABCD là hình bình hành nên AB // CD, DC = AB, suy ra AE // DF, AE = 2AB = 2CD = DF. ⇒ AEFD là hình bình hành. Tương tự, tứ giác ABFC có các cạnh đối song song và bằng nhau nên ABFC là hình bình hành. b) Vì AEFD là hình bình hành nên AF cắt ED tại trung điểm mỗi đường. Vì ABFC là hình bình hành nên AF cắt BC tại trung điểm mỗi đường. Vậy ba trung điểm của AF, DE, BC trùng nhau.

Vì ABCD là hình bình hành nên ta có: • Hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O nên OA = OC, OB = OD. • AB // CD nên AM // CN suy ra ˆ O A M = ˆ O C N (hai góc so le trong). Xét ∆OAM và ∆OCN có: ˆ O A M = ˆ O C N (chứng minh trên) OA = OC (chứng minh trên) ˆ A O M = ˆ C O N (hai góc đối đỉnh) Do đó ∆OAM = ∆OCN (g.c.g). Suy ra AM = CN (hai cạnh tương ứng) Mặt khác, AB = CD (chứng minh trên); AB = AM + BM; CD = CN + DN. Suy ra BM = DN. Xét tứ giác MBND có: • BM // DN (vì AB // CD) • BM = DN (chứng minh trên) Do đó, tứ giác MBND là hình bình hành

a) Chứng minh AEFD và AECF là hình bình hành: Vì ABCD là hình bình hành: Ta có \(AB\parallel CD\) và \(AB=CD\). Vì E, F là trung điểm của AB, CD: Ta có \(AE=\frac{1}{2}AB\) và \(DF=\frac{1}{2}CD\). Vì \(AB=CD\), nên \(AE=DF\). Suy ra: Tứ giác AEFD có \(AE\parallel DF\) (vì \(AB\parallel CD\)) và \(AE=DF\). Do đó, AEFD là hình bình hành. Tương tự, ta có \(AF=\frac{1}{2}AB\) và \(EC=\frac{1}{2}CD\). Vì \(AB=CD\), nên \(AE=EC\). Tứ giác AECF có \(AE\parallel CF\) (vì \(AB\parallel CD\)) và \(AE=CF\). Do đó, AECF là hình bình hành.  b) Chứng minh EF = AD và AF = EC: Vì AEFD là hình bình hành: Suy ra \(EF=AD\). Vì AECF là hình bình hành: S