Với 𝑥 ≥ 0 x≥0 và 𝑥 ≠ 4 x  =4 ta có:

𝑃

2 ( 𝑥 − 2 ) + 5 𝑥 − 2

2 + 5 𝑥 − 2 P= x ​ −2 2( x ​ −2)+5 ​ =2+ x ​ −2 5 ​ .

Ta có 𝑃 ∈ 𝑍 P∈Z khi 5 𝑥 − 2 ∈ 𝑍 ⇒ 𝑥 − 2 ∈ x ​ −2 5 ​ ∈Z⇒ x ​ −2∈ Ư ( 5 ) (5).

Vậy 𝑥 ∈ { 1 ; 9 ; 49 } x∈{1;9;49} thì 𝑃 P nhận giá trị nguyên.

Với 𝑥 ≥ 0 x≥0 và 𝑥 ≠ 4 x  =4 ta có:

𝑃

2 ( 𝑥 − 2 ) + 5 𝑥 − 2

2 + 5 𝑥 − 2 P= x ​ −2 2( x ​ −2)+5 ​ =2+ x ​ −2 5 ​ .

Ta có 𝑃 ∈ 𝑍 P∈Z khi 5 𝑥 − 2 ∈ 𝑍 ⇒ 𝑥 − 2 ∈ x ​ −2 5 ​ ∈Z⇒ x ​ −2∈ Ư ( 5 ) (5).

Vậy 𝑥 ∈ { 1 ; 9 ; 49 } x∈{1;9;49} thì 𝑃 P nhận giá trị nguyên.

Với 𝑥 ≥ 0 x≥0 và 𝑥 ≠ 4 x  =4 ta có:

𝑃

2 ( 𝑥 − 2 ) + 5 𝑥 − 2

2 + 5 𝑥 − 2 P= x ​ −2 2( x ​ −2)+5 ​ =2+ x ​ −2 5 ​ .

Ta có 𝑃 ∈ 𝑍 P∈Z khi 5 𝑥 − 2 ∈ 𝑍 ⇒ 𝑥 − 2 ∈ x ​ −2 5 ​ ∈Z⇒ x ​ −2∈ Ư ( 5 ) (5).

Vậy 𝑥 ∈ { 1 ; 9 ; 49 } x∈{1;9;49} thì 𝑃 P nhận giá trị nguyên.

Với 𝑥 ≥ 0 x≥0 và 𝑥 ≠ 4 x  =4 ta có:

𝑃

2 ( 𝑥 − 2 ) + 5 𝑥 − 2

2 + 5 𝑥 − 2 P= x ​ −2 2( x ​ −2)+5 ​ =2+ x ​ −2 5 ​ .

Ta có 𝑃 ∈ 𝑍 P∈Z khi 5 𝑥 − 2 ∈ 𝑍 ⇒ 𝑥 − 2 ∈ x ​ −2 5 ​ ∈Z⇒ x ​ −2∈ Ư ( 5 ) (5).

Vậy 𝑥 ∈ { 1 ; 9 ; 49 } x∈{1;9;49} thì 𝑃 P nhận giá trị nguyên.

A= x ​ −1 x ​ −1+1 ​

x ​ −1 x ​ −1 ​ + x ​ −1 1 ​ =1+ x ​ −1 1 ​ .

Để 𝐴 A là số nguyên thì 𝑥 − 1 x ​ −1 là ước của 1 1.

Suy ra 𝑥 − 1 ∈   { − 1 ; 1 } x ​ −1∈ {−1;1}.

𝑥 − 1 x ​ −1     − 1 −1        1 1    𝑥 x ​

0 0 2 2 𝑥 x 0 0 4 4 Các giá trị của 𝑥 x thỏa mãn điều kiện của bài toán. Vậy 𝑥 ∈ { 0 ; 4 } x∈{0;4} thì 𝐴 A nhận giá trị nguyên.

Vì 𝑥 ≥ 0 x ​ ≥0 với 𝑥 ≥ 0 x≥0 nên 𝐴

𝑥 − 1 ≥ − 1 A= x ​ −1≥−1.

Dấu "=" xảy ra khi 𝑥

0 x=0.

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức 𝐴 A là min ⁡ 𝐴

− 1 minA=−1 đạt được khi 𝑥

0 x=0.

Vì 𝑥 ≥ 0 x ​ ≥0 với 𝑥 ≥ 0 x≥0 nên 𝐴

𝑥 − 1 ≥ − 1 A= x ​ −1≥−1.

Dấu "=" xảy ra khi 𝑥

0 x=0.

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức 𝐴 A là min ⁡ 𝐴

− 1 minA=−1 đạt được khi 𝑥

0 x=0.

Vì 𝑥 ≥ 0 x ​ ≥0 với 𝑥 ≥ 0 x≥0 nên 𝐴

𝑥 − 1 ≥ − 1 A= x ​ −1≥−1.

Dấu "=" xảy ra khi 𝑥

0 x=0.

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức 𝐴 A là min ⁡ 𝐴

− 1 minA=−1 đạt được khi 𝑥

0 x=0.