Tham khảo

Chúng ta có hệ phương trình sau:

1. \(y + y = 46\)
2. \(y + 57 - 67 = z\)
3. \(b + z + z = 100\)
4. \(y + b = a\)
5. Tính \(y + b + z + a\)

Bước 1: Giải phương trình đầu tiên

Phương trình \(y + y = 46\) có thể viết lại là:

\(2 y = 46\)

Chia cả hai vế cho 2:

\(y = 23\)

Bước 2: Giải phương trình thứ hai

Thay \(y = 23\) vào phương trình \(y + 57 - 67 = z\):

\(23 + 57 - 67 = z\)\(23 + \left(\right. - 10 \left.\right) = z\)\(z = 13\)

Bước 3: Giải phương trình thứ ba

Phương trình \(b + z + z = 100\) có thể viết lại là:

\(b + 2 z = 100\)

Thay \(z = 13\) vào:

\(b + 2 \left(\right. 13 \left.\right) = 100\)\(b + 26 = 100\)

Giải phương trình:

\(b = 100 - 26 = 74\)

Bước 4: Giải phương trình thứ tư

Phương trình \(y + b = a\) có thể viết lại là:

\(23 + 74 = a\)\(a = 97\)

Bước 5: Tính \(y + b + z + a\)

Giờ ta có tất cả các giá trị \(y = 23\), \(b = 74\), \(z = 13\), \(a = 97\). Tính giá trị của \(y + b + z + a\):

\(y + b + z + a = 23 + 74 + 13 + 97\)\(y + b + z + a = 207\)

Kết quả:

Giá trị của \(y + b + z + a\) là \(\boxed{207}\).

Tham khảo

Để giải phương trình:

\(x \left(\right. 2 x - 1 \left.\right) - \left(\right. 2 x^{2} + x \left.\right) = - 2\)

Bước 1: Phân phối và đơn giản hóa phương trình

Ta sẽ nhân các hạng tử trong biểu thức:

\(x \left(\right. 2 x - 1 \left.\right) = 2 x^{2} - x\)

Vậy phương trình trở thành:

\(2 x^{2} - x - \left(\right. 2 x^{2} + x \left.\right) = - 2\)

Bước 2: Loại bỏ dấu ngoặc và gộp các hạng tử tương tự

Giải phóng dấu ngoặc trong biểu thức \(- \left(\right. 2 x^{2} + x \left.\right)\):

\(2 x^{2} - x - 2 x^{2} - x = - 2\)

Bây giờ gộp các hạng tử tương tự:

\(\left(\right. 2 x^{2} - 2 x^{2} \left.\right) + \left(\right. - x - x \left.\right) = - 2\)

Điều này sẽ rút gọn thành:

\(- 2 x = - 2\)

Bước 3: Giải phương trình

Chia cả hai vế cho -2:

\(x = 1\)

Kết quả:

Phương trình có nghiệm là \(\boxed{x = 1}\).

Tham khảo

Chúng ta sẽ giải bài toán theo từng câu hỏi.

Thông tin đã cho:

• Tốc độ ca nô xuôi dòng \(v_{\text{xu} \hat{\text{o}} \text{i}} = 14.4\) km/h.
• Tốc độ dòng nước \(v_{\text{n}ướ\text{c}} = 1.6\) km/h.
• Tốc độ của ca nô khi nước yên lặng (tốc độ của ca nô \(v_{\text{cano}}\)) là \(v_{\text{cano}} = 14.4 - 1.6 = 12.8\) km/h.

a) Nếu ca nô xuôi dòng 3,5 giờ thì đi được bao nhiêu km?

Khi ca nô xuôi dòng, tốc độ tổng cộng của nó sẽ là:

\(v_{\text{xu} \hat{\text{o}} \text{i}} = v_{\text{cano}} + v_{\text{n}ướ\text{c}} = 12.8 \textrm{ } \text{km}/\text{h} + 1.6 \textrm{ } \text{km}/\text{h} = 14.4 \textrm{ } \text{km}/\text{h} .\)

Ca nô xuôi dòng trong 3,5 giờ, vậy quãng đường đi được là:

\(d = v_{\text{xu} \hat{\text{o}} \text{i}} \times t = 14.4 \textrm{ } \text{km}/\text{h} \times 3.5 \textrm{ } \text{h} = 50.4 \textrm{ } \text{km} .\)

b) Nếu ca nô ngược dòng, cần bao nhiêu thời gian để đi được quãng đường như khi xuôi dòng 2,5 giờ?

Khi ca nô ngược dòng, tốc độ của nó sẽ là:

\(v_{\text{ng}ượ\text{c}} = v_{\text{cano}} - v_{\text{n}ướ\text{c}} = 12.8 \textrm{ } \text{km}/\text{h} - 1.6 \textrm{ } \text{km}/\text{h} = 11.2 \textrm{ } \text{km}/\text{h} .\)

Quãng đường mà ca nô đi được khi xuôi dòng 2,5 giờ là:

\(d = v_{\text{xu} \hat{\text{o}} \text{i}} \times t = 14.4 \textrm{ } \text{km}/\text{h} \times 2.5 \textrm{ } \text{h} = 36 \textrm{ } \text{km} .\)

Vậy, khi ca nô ngược dòng, để đi được quãng đường 36 km, thời gian cần thiết là:

\(t_{\text{ng}ượ\text{c}} = \frac{d}{v_{\text{ng}ượ\text{c}}} = \frac{36 \textrm{ } \text{km}}{11.2 \textrm{ } \text{km}/\text{h}} = 3.21 \textrm{ } \text{h} .\)

Tóm tắt kết quả:

• a) Ca nô đi xuôi dòng 3,5 giờ thì đi được 50.4 km.
• b) Nếu ca nô ngược dòng, thời gian cần thiết để đi được quãng đường như khi xuôi dòng 2,5 giờ là 3.21 giờ.

Tham khảo

Bài toán này yêu cầu tìm điểm \(M\) trên cạnh \(B C\) của tam giác \(A B C\) sao cho nếu vẽ các điểm \(D\) và \(E\) sao cho \(A B\) là đường trung trực của \(M D\) và \(A C\) là đường trung trực của \(M E\), thì độ dài đoạn \(D E\) là nhỏ nhất.

Phân tích bài toán:

Để giải bài toán này, ta cần tìm điểm \(M\) sao cho đoạn thẳng \(D E\) có độ dài nhỏ nhất. Để làm được điều này, ta cần hiểu rằng khi \(M\) được chọn sao cho \(A B\) và \(A C\) là các đường trung trực của \(M D\) và \(M E\), thì \(D\) và \(E\) là các điểm đối xứng của \(M\) qua các đường trung trực tương ứng.

Điều này gợi ý về tính chất đối xứng trong tam giác và liên quan đến điểm đối xứng của tam giác.

Hướng giải:

1. Xác định các đối xứng:
2. • \(A B\) là đường trung trực của \(M D\), nghĩa là \(D\) là ảnh của \(M\) qua đường thẳng \(A B\).
   • \(A C\) là đường trung trực của \(M E\), nghĩa là \(E\) là ảnh của \(M\) qua đường thẳng \(A C\).
3. Điều kiện để đoạn \(D E\) có độ dài nhỏ nhất:
   Để \(D E\) có độ dài nhỏ nhất, điểm \(M\) cần phải được chọn sao cho điểm \(D\) và \(E\) có thể đối xứng nhau một cách tối ưu nhất qua các đường trung trực. Từ đó, ta có thể suy ra rằng điểm \(M\) phải là điểm đối xứng của điểm \(A\) qua cạnh \(B C\), tức là \(M\) phải là vị trí đối xứng của \(A\) qua đường thẳng \(B C\).
4. Lý do:
   Khi \(M\) là điểm đối xứng của \(A\) qua \(B C\), thì các đường trung trực của \(M D\) và \(M E\) (tức là các đường vuông góc với \(A B\) và \(A C\)) sẽ tạo thành một hệ đối xứng đặc biệt, dẫn đến việc đoạn \(D E\) có độ dài nhỏ nhất.

Kết luận:

Điểm \(M\) trên cạnh \(B C\) sao cho đoạn \(D E\) có độ dài nhỏ nhất chính là điểm đối xứng của điểm \(A\) qua đường thẳng \(B C\).

Tham khảo

Khi \(cot ⁡ \left(\right. a \left.\right) = 3\) và \(0^{\circ} < a < 90^{\circ}\), ta có thể áp dụng một số tính chất lượng giác để tính các giá trị khác liên quan đến góc \(a\).

1. Định nghĩa \(cot ⁡ \left(\right. a \left.\right)\)

Ta biết rằng:

\(cot ⁡ \left(\right. a \left.\right) = \frac{1}{tan ⁡ \left(\right. a \left.\right)}\)

Do đó, từ \(cot ⁡ \left(\right. a \left.\right) = 3\), ta có:

\(tan ⁡ \left(\right. a \left.\right) = \frac{1}{3}\)

2. Tính giá trị các hàm lượng giác khác

Dựa trên giá trị \(tan ⁡ \left(\right. a \left.\right) = \frac{1}{3}\), ta có thể tính giá trị của các hàm lượng giác khác như \(sin ⁡ \left(\right. a \left.\right)\), \(cos ⁡ \left(\right. a \left.\right)\), và \(sec ⁡ \left(\right. a \left.\right)\).

a. Tính \(sin ⁡ \left(\right. a \left.\right)\) và \(cos ⁡ \left(\right. a \left.\right)\)

Ta sử dụng định lý Pythagoras trong tam giác vuông với cạnh đối và cạnh kề:

\(tan ⁡ \left(\right. a \left.\right) = \frac{\text{c}ạ\text{nh}\&\text{nbsp};đ \overset{ˊ}{\hat{\text{o}}} \text{i}}{\text{c}ạ\text{nh}\&\text{nbsp};\text{k} \overset{ˋ}{\hat{\text{e}}}} = \frac{1}{3}\)

Giả sử cạnh đối là 1 và cạnh kề là 3, ta có thể tính cạnh huyền \(h\) theo định lý Pythagoras:

\(h = \sqrt{1^{2} + 3^{2}} = \sqrt{1 + 9} = \sqrt{10}\)

Vậy:

\(sin ⁡ \left(\right. a \left.\right) = \frac{\text{c}ạ\text{nh}\&\text{nbsp};đ \overset{ˊ}{\hat{\text{o}}} \text{i}}{h} = \frac{1}{\sqrt{10}}\)\(cos ⁡ \left(\right. a \left.\right) = \frac{\text{c}ạ\text{nh}\&\text{nbsp};\text{k} \overset{ˋ}{\hat{\text{e}}}}{h} = \frac{3}{\sqrt{10}}\)

b. Tính \(sec ⁡ \left(\right. a \left.\right)\) và \(csc ⁡ \left(\right. a \left.\right)\)

• \(sec ⁡ \left(\right. a \left.\right) = \frac{1}{cos ⁡ \left(\right. a \left.\right)} = \frac{\sqrt{10}}{3}\)
• \(csc ⁡ \left(\right. a \left.\right) = \frac{1}{sin ⁡ \left(\right. a \left.\right)} = \sqrt{10}\)

3. Tóm tắt kết quả

• \(tan ⁡ \left(\right. a \left.\right) = \frac{1}{3}\)
• \(sin ⁡ \left(\right. a \left.\right) = \frac{1}{\sqrt{10}}\)
• \(cos ⁡ \left(\right. a \left.\right) = \frac{3}{\sqrt{10}}\)
• \(sec ⁡ \left(\right. a \left.\right) = \frac{\sqrt{10}}{3}\)
• \(csc ⁡ \left(\right. a \left.\right) = \sqrt{10}\)